Afbeeldingstelling van Riemann

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de afbeeldingstelling van Riemann dat bij elke enkelvoudig samenhangende open echte deelverzameling van het complexe vlak een biholomorfe (bijectieve en holomorfe) afbeelding van op de open eenheidsschijf bestaat.

Intuïtief betekent de voorwaarde dat enkelvoudig samenhangend is dat geen "gaten" bevat. Het feit dat biholomorf is impliceert dat het een hoekgetrouwe afbeelding is en daarom hoekbewarend. Intuïtief bewaart zo'n afbeelding de vorm van elk voldoende klein figuur onder rotatie en schalen (maar niet spiegelen).

Henri Poincaré bewees dat de afbeelding in essentie uniek is: als een element van is en een willekeurige hoek is, dan bestaat er precies een , zoals hierboven, met de extra eigenschappen dat het punt afbeelft op en dat het argument van de afgeleide van in het punt gelijk is aan Dit is een eenvoudige consequentie van het lemma van Schwarz.

Als een corollarium van de stelling kunnen elke twee enkelvoudig verbonden open deelverzamelingen van de riemann-sfeer (die elk ten minste twee punten van de sfeer missen) hoekgetrouw op elkaar worden afgebeeld (omdat hoekgetrouwe gelijkwaardigheid een equivalentierelatie is).

  • formulering van de afbeeldingstelling

Formulering van de afbeeldingstelling

Op biholomorfe equivalentie na zijn er slechts drie open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak:

Bovendien is zo een equivalentie in zekere zin uniek bepaald: veronderstel dat en twee open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak zijn. Kies punten en een hoek Dan bestaat er een unieke equivalentie van naar die op afbeeldt en zodat de afgeleide in argument heeft.

In andere talen