초월수

초월수(超越數, 영어: transcendental number)는 계수가 유리수인 어떤 다항 방정식도 될 수 없는 복소수이다. 다항 방정식의 해가 될 수 있는 수인 대수적 수와 반대 개념이다.

실수인 초월수는 모두 무리수이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 는 무리수이지만 다음 이차방정식

의 해이므로 초월수가 아니다.

대수적 수의 집합이 가산 집합인 데 비하여 복소수의 집합은 비가산 집합이다. 따라서 초월수의 집합은 비가산 집합이 된다. 이것은 대수적 수의 개수보다 초월수의 개수가 많다는 것을 뜻한다. 하지만 지금까지 알려진 초월수는 많지 않고, 어떤 특정한 수가 초월수임을 증명하는 것은 매우 어렵다.

초월수의 존재는 레온하르트 오일러가 예상하였으나, 최초의 초월수는 1844년조제프 리우빌이 발견하였다. 그는 초월수의 예로서 다음과 같이 정의되는 리우빌 상수를 제시하였다.

를 들었다. 이 문제는 1934년겔폰드-슈나이더 정리에 의해 참임이 밝혀졌다. 이 결과는 1960년앨런 베이커에 의해 확장되었다.

잘 알려진 초월수

  • ()
  • 원주율
  • 0이 아닌 유리수 에 대하여
  • 1이 아닌 양의 유리수 에 대하여
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