매끄러운 다양체

미분기하학에서, 매끄러운 다양체( 영어: smooth manifold) 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, 영어: differentiable manifold)는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분적분벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다.

정의

자연수 에 대하여, 차원 다양체 위의 좌표근방계(座標近傍系, 영어: atlas) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 함수집합이며, 의 각 원소 매장 이다. 또한, 정의역 열린 집합이며, 치역 열린 집합이다.

이 구조는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

  • . 즉, 열린 덮개이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 매끄러운 함수이다. 이러한 함수를 추이 사상( 영어: transition map)이라고 한다.

매끄러운 다양체 는 좌표근방계를 갖춘 다양체이다.

만약 추이 사상에 대한 조건을 로 약화시킨다면, 이를 다양체라고 한다. 만약 추이 사상에 대한 조건을 해석 함수로 강화시킨다면, 이를 해석 다양체(解析多樣體, 영어: analytic manifold)라고 한다.

같은 다양체 위의 두 좌표근방계 , 에 대하여, 만약 이 역시 좌표근방계를 이룬다면 두 좌표계가 서로 호환된다고 한다. 이는 동치 관계를 이룬다. 또한, 위의 모든 좌표근방계들의 집합은 포함 관계 에 대하여 부분 순서 집합을 이루며, 이에 대한 극대 원소극대 좌표근방계(座標近傍系, 영어: maximal atlas)라고 한다. 임의의 좌표근방계 에 대하여 인 극대 좌표근방계 이 항상 유일하게 존재한다. 서로 호환되는 두 좌표근방계는 미분동형 매끄러운 다양체를 정의한다. 즉, 극대 좌표근방계는 좌표근방계의 호환 관계에 대한 동치류일대일 대응하며, 이 때문에 극대 좌표근방계를 매끄러움 구조( 영어: smooth structure)라고 하기도 한다.

두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수 는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수이다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 는 (유클리드 공간 사이의) 매끄러운 함수이다.

다양체 사이의 함수 역시 마찬가지로 정의한다. 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주라고 쓴다. 이 범주에서의 동형 미분동형이라고 한다.