調和解析

数学の一分野としての調和解析(ちょうわかいせき、 : Harmonic analysis)は、 関数信号を基本波の 重ね合わせとして表現することに関わるもので、 フーリエ級数フーリエ変換及びその一般化について研究する分野である。19世紀から20世紀を通じて、調和解析の扱う主題は広く、応用も 信号処理量子力学神経科学など多岐にわたる。

「調和 (harmonic)」の語は、もとは物理的な 固有値問題から来たもので、(楽器の弦における調和振動の周波数のように)周波数が他の周波数の整数倍となっているような波を意図したものであるが、現在ではその原義を超えて一般化した使い方をされる。

Rn 上の古典フーリエ変換は未だ活発な研究の成されている領域であり、特により一般の 緩増加超関数などの対象についてのフーリエ変換に関心が持たれる。例えば、 シュワルツ超関数 f に適当な仮定を課すときに、それらの仮定を f のフーリエ変換に関する仮定に翻訳することを考えることができる。 ペイリー・ウィーナーの定理英語版はその一例である。ペイリー・ウィーナーの定理からすぐに従うことに、fコンパクト台を持つ非零超関数(これにはコンパクト台を持つ関数ももちろん含まれる)ならばそのフーリエ変換がコンパクト台を持つことは起こりえない。これは調和解析的な設定のもとでの非常に初等的な形の 不確定性原理と言うことができる( フーリエ級数の収束も参照)。

フーリエ級数は ヒルベルト空間論の文脈でも有効に調べられており、調和解析と 関数解析学とを結ぶものとなっている。

抽象調和解析

調和解析のより現代的な部分の一つは、20世紀中盤に源を発する 位相群上の 解析学である。その中心原理となる考えは、 局所コンパクトな ハウスドルフ位相群上で定義された関数に対して一般化することのできる種々の フーリエ変換である。

可換局所コンパクト群に対する調和解析の理論は ポントリャーギン双対性と呼ばれる。これは調和解析の持つ主な特徴を説明する分には十分な内容を持つと考えられる[ 要出典]。調和解析は、このような双対性とフーリエ変換の性質について研究すること、およびそれらの特徴をもっとほかの状況(たとえば、非可換 リー群など)への拡張を試みることを目的とする。

一般の非可換な 局所コンパクト群に対する調和解析は、 ユニタリ群表現論に近しい関係にある。特にコンパクト群に対する ペーター・ワイルの定理英語版は、表現の各同値類から既約表現を選び出すことによって関数の調和分解が得られることを明らかにするものである。この調和分解の作り方は、古典フーリエ変換の持つ有用な性質(例えば 畳み込みを点ごとの積へ写すことなど)を保ち、あるいは となる 構造のある種の理解を導くことを可能とする( 非可換調和解析も参照)。

可換でもコンパクトでもない(局所コンパクト)群については、未だ十分な一般論は知られていない(ここで「十分な」というのは、少なくとも プランシュレルの定理と同等の内容を含むということと考えてよい)が、特定の場合についての理論はよく調べられているものが多くあり、例えば 特殊線型群 SLn の場合の理論は無限次元の 表現論において著しい役割を果たす。

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