調和解析

数学の一分野としての調和解析(ちょうわかいせき、: Harmonic analysis)は、関数信号を基本波の重ね合わせとして表現することに関わるもので、フーリエ級数フーリエ変換及びその一般化について研究する分野である。19世紀から20世紀を通じて、調和解析の扱う主題は広く、応用も信号処理量子力学神経科学など多岐にわたる。

「調和 (harmonic)」の語は、もとは物理的な固有値問題から来たもので、(楽器の弦における調和振動の周波数のように)周波数が他の周波数の整数倍となっているような波を意図したものであるが、現在ではその原義を超えて一般化した使い方をされる。

Rn 上の古典フーリエ変換は未だ活発な研究の成されている領域であり、特により一般の緩増加超関数などの対象についてのフーリエ変換に関心が持たれる。例えば、シュワルツ超関数 f に適当な仮定を課すときに、それらの仮定を f のフーリエ変換に関する仮定に翻訳することを考えることができる。ペイリー・ウィーナーの定理英語版はその一例である。ペイリー・ウィーナーの定理からすぐに従うことに、fコンパクト台を持つ非零超関数(これにはコンパクト台を持つ関数ももちろん含まれる)ならばそのフーリエ変換がコンパクト台を持つことは起こりえない。これは調和解析的な設定のもとでの非常に初等的な形の不確定性原理と言うことができる(フーリエ級数の収束も参照)。

フーリエ級数はヒルベルト空間論の文脈でも有効に調べられており、調和解析と関数解析学とを結ぶものとなっている。

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