固有値

図 1. モナ・リザの画像を平行四辺形に変換したところ。画像の中にある上向きの矢印(赤色)は変化していないのに対し、ななめ右上を向いた矢印(青色)は方向が変化している。この赤い矢印がこの変換における固有ベクトルであり、青い矢印は固有ベクトルではない。ここで赤い矢印は伸張も収縮もしていないので、この固有値は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。ゼロベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する固有空間を形成する。

線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (: eigenvalue) や固有ベクトル (: eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (: eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。

歴史

現在では、固有値の概念は行列論とからめて導入されることが多いものの、歴史的には二次形式微分方程式の研究から生じたものである。

18世紀初頭、ヨハン・ベルヌーイダニエル・ベルヌーイダランベール および オイラーらは、いくつかの質点がつけられた重さのない弦の運動を研究しているうちに固有値問題につきあたった。18世紀後半に、ラプラスラグランジュはこの問題をさらに研究し、弦の運動の安定性には固有値が関係していることをつきとめた。彼らはまた固有値問題を太陽系の研究にも適用している[1]

オイラーはまた剛体の回転についても研究し、主軸の重要性に気づいた。ラグランジュがこの後発見したように、主軸は慣性行列の固有ベクトルである[2]。19世紀初頭には、コーシーがこの研究を二次曲面の分類に適用する方法を示し、その後一般化して任意次元の二次超曲面の分類を行った[3]。コーシーはまた "racine caractéristique"(特性根)という言葉も考案し、これが今日「固有値」と呼ばれているものである。彼の単語は「特性方程式 (: characteristic equation)」という用語の中に生きている[4]

フーリエは、1822年の有名な著書 ("Théorie analytique de la chaleur") の中で、変数分離による熱方程式の解法においてラプラスとラグランジュの結果を利用している[5]。 スツルムはフーリエのアイデアをさらに発展させ、これにコーシーが気づくことになった。コーシーは彼自身のアイデアを加え、対称行列の全ての固有値は実数であるという事実を発見した[3]。この事実は、1855年エルミートによって、今日エルミート行列と呼ばれる概念に対して拡張された[4]。ほぼ同時期に ブリオスキは直交行列の固有値全てが単位円上に分布することを証明し[3]、 クレープシュが歪対称行列に関して対応する結果を得ている[4]。最終的に、ワイエルシュトラスが、ラプラスの創始した安定論 (: stability theory) の重要な側面を、不安定性の引き起こす 不完全行列を構成することによって明らかにした[3]

19世紀中ごろ、ジョゼフ・リウヴィルは、スツルムの固有値問題の類似研究を行った。彼らの研究は、今日スツルム–リウヴィル理論と呼ばれる一分野に発展している[6]ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツは一般の定義域上でのラプラス方程式の固有値についての研究を19世紀の終わりにかけて初めて行った。一方、アンリ・ポアンカレはその数年後ポアソン方程式について研究している[7]

20世紀初頭、ヒルベルトは、積分作用素を無限次元の行列と見なしてその固有値について研究した[8]。ヒルベルトは、ヘルムホルツの関連する語法に従ったのだと思われるが、固有値や固有ベクトルを表すために ドイツ語eigen を冠した最初の人であり、それは1904年のことである[9]。ドイツ語の形容詞 "eigen" は「独特の」「特有の」「特徴的な」「個性的な」といったような意味があり[10]、固有値は特定の変換に特有の性質というものを決定付けるということが強調されている。英語の標準的な用語法で "proper value" ということもあるが、印象的な "eigenvalue" のほうが今日では標準的に用いられる[11]。フランス語では valeur propre である。

固有値や固有ベクトルの計算に対する数値的なアルゴリズムの最初のものは、ヤコビが対称行列の固有値固有ベクトルを求める手法として (ヤコビの提出したヤコビ法(電子計算機が発明されたときにフォンノイマンが発見したと思われたが実際はヤコビが既に述べていた)、 ガウスによる行列の基本変形操作によるヘッセンベルグ形式への還元、などが知られていた)、 1929年にフォン・ミーゼスが公表した 冪乗法 (: power method) である。今日最もよく知られた手法のひとつに、1961年に Francisと Kublanovskayaが独立に考案したQR法がある[12]

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