可微分多様体

地球の座標近傍の微分可能でないアトラス。アトラスが微分可能でないとき微積分の結果は座標近傍間で両立可能とは限らない。 北回帰線は真ん中の座標近傍では滑らかな曲線であるが、一方左の座標近傍では鋭い角を持つ。可微分多様体の概念は座標近傍の間の変換をする関数が微分可能であることを要求することによって多様体の概念を洗練する。

数学において、可微分多様体(かびぶんたようたい、 : differentiable manifold)、あるいは微分可能多様体(びぶんかのうたようたい)は、局所的に十分 線型空間に似ており 微積分ができるような 多様体である。任意の多様体は、 チャート(座標近傍、局所座標)の集まり、アトラス(座標近傍系、局所座標系)、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば(すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が 微分可能であれば)、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。

フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義された 可微分構造英語版を持つ 位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの 同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での 合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。

微分可能性は文脈によって 連続微分可能k 回微分可能、 滑らか正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な 接空間、微分可能な関数、微分可能な テンソル場ベクトル場を定義することができる。可微分多様体は 物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は 古典力学一般相対論ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus (外微分法/外微分学)のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は 微分幾何学と呼ばれる。

歴史

はっきりした分野としての微分幾何学の出現は一般に カール・フリードリヒ・ガウスベルンハルト・リーマンによるものとされている。リーマンはゲッティンゲン大学の有名な教授就任講演 [1]で初めて多様体を記述した。彼は多様体のアイデアを与えられた対象を新しい方向に変える直観的な過程によって動機付け、続くフォーマルな発展において座標系とチャートの役割を先見の明を持って記述した:

Having constructed the notion of a manifoldness of n dimensions, and found that its true character consists in the property that the determination of position in it may be reduced to n determinations of magnitude, ...– B. Riemann

ジェームズ・クラーク・マクスウェル [2]のような物理学者と数学者 グレゴリオ・リッチ=クルバストロ英語版 (Gregorio Ricci-Curbastro) と トゥーリオ・レヴィ=チヴィタ (Tullio Levi-Civita) [3]の仕事は テンソル解析の発展と内在的な幾何学的性質を 座標変換で不変な性質と同一視する 共変性英語版の概念に導いた。これらのアイデアは アインシュタイン一般相対性理論とその根本にある 等価原理に重要な応用を見つけた。2次元多様体の現代的な定義は ヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) によって リーマン面に関する 1913 年の本において与えられた [4]アトラスのことばによる多様体の広く受け入れられている一般的な定義は ハスラー・ホイットニー英語版による [5]