作用 (物理学)

物理学における作用(さよう、 : action)は、 物理系英語版動力学的な性質を示すもので、数学的には経路 [注 1]引数にとる 実数値の 汎関数として表現される。一般には、異なる経路に対する作用は異なる値を持つ [1]古典力学においては、作用の 停留点における経路が実現される。この法則を 最小作用の原理と呼ぶ。

作用は、 エネルギー時間の積の 次元を持つ。従って、 国際単位系 (SI) では、作用の単位は ジュール秒 (J⋅s) となる。作用の次元を持つ 物理定数として プランク定数がある。そのため、プランク定数は作用の物理的に普遍な単位としてしばしば用いられる。なお、作用と同じ次元の物理量として 角運動量がある。

物理学において「作用」という言葉は様々な意味で用いられる。たとえば 作用・反作用の法則近接作用論遠隔作用論の中で論じられる「作用」とは物体に及ぼされる を指す。本項では力の意味での作用ではなく、 解析力学における ラグランジアン積分としての作用についてを述べる。

概要

物理法則は 微分方程式として表されることが多い。 時間に関する微分方程式は、 位置運動量といった時間に対して 連続物理量がどのように変化するかを記述する。それぞれの状況に対応して、微分方程式に 初期条件を含む 境界条件が与えられ、与えられた境界条件から得られる 微分方程式の解は、それぞれの状況に対する系の振る舞いを決定する。微分方程式の解は、境界条件によって定められる時間領域および空間領域のすべての点に対して、粒子の位置や運動量を決定する 関数として得られる。

運動方程式を見つけるための異なるアプローチがある。 古典力学では、系が実際に辿る経路はその経路の作用が 停留値(大抵は最小値)をとるものに限ると仮定される。つまり、古典力学において作用は 最小作用の原理(厳密には「停留作用の原理」と呼ぶべきだろう)を満たす。最小作用の原理は 変分原理の一種であり、作用の第一 変分が 0 となる経路として古典的経路を定める。作用は 積分の形で定義され、これを作用積分(さようせきぶん、 : action integral)と呼ぶ。系の古典的運動方程式は、作用積分を最小化する必要条件として、作用積分の境界条件を除いた形で得られる。

この単純な原理は、物理へ深い洞察をもたらす現代 理論物理学での重要な概念である。

微分方程式による表現と変分原理による表現の二つのアプローチが互いに等価であることは、 ハミルトンの原理英語版から導かれる。ハミルトンの原理は任意の系の運動方程式である微分方程式は等価な 積分方程式として再定式化することができることを言っている。これは、単に単一粒子の運動に留まらず、 電磁場重力場のような 古典場の理論にも適用できる。ハミルトンの原理はまた、 量子力学場の量子論への拡張、特に 経路積分の定式化に用いられる。量子系の可能なすべての経路に対して、それぞれの経路の確率振幅がその経路の作用積分によって決定される。 [2]

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