リーマンの写像定理

複素解析において、リーマンの写像定理 (Riemann mapping theorem) は、 が空でない単連結開集合(単連結な領域)のとき、U から単位開円板

への双正則な写像(全単射正則写像f が存在することを言っている定理である[1]

この写像はリーマンの写像 (Riemann mapping) として知られている。

直感的には、U が単連結であることは U には「穴」があいていないことを意味する。f が双正則であることは、それが等角写像であり、従って角度を保つことを意味する。直感的には、そのような写像は、回転したり拡大・縮小したりはする(ただし折り返してはいけない)が、十分に小さな形を保存する。

アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) は、写像 f が本質的に一意的であることを証明した。z0U の元とし、φ を任意の角度とすると、ちょうど一つだけ以下を満たす上記のような f が存在する。f(z0) = 0 であり、かつ点 z0 における f の微分の偏角が φ に等しくなる。この一意性はシュワルツの補題より容易に導ける。

この定理の系として、リーマン球面の少なくとも 2 点を取り除いた任意の 2つの単連結な開部分集合は、互いに共形的に写像することができる(理由は共形同値は同値関係だからである)。

歴史

この定理は、1851年のベルンハルト・リーマンの学位論文にて(U の境界が区分的に滑らかであると仮定して)記述された。ラース・アールフォルスはかつて、この定理の元々の定式化について「現代の方法を以てしても、いかなる証明の試みをも拒絶するような言葉で定式化されていた」と述べている。リーマンの誤った証明はディリクレの原理(命名はリーマンによる)に依存しており、この原理は当初正しいと考えられていたが、カール・ワイエルシュトラスが一般には成り立たないことを発見した。後にダフィット・ヒルベルトが再考し、ディリクレの原理がリーマンが用いた仮定の下で広い範囲で有効であることを証明した。しかし、有効となるためには、ディリクレの原理は U の境界に関する一般の単連結領域では成り立たないある仮定を必要とする。任意の境界を持つ単連結領域は William Fogg Osgood (1900) により初めて扱われた。

正しい初の証明はコンスタンティン・カラテオドリにより1912年に出版された。彼の証明はリーマン面を使っていたが、2年後に ポール・ケーベ英語版がこれを使わない形に簡素化した。

別証明として レオポルド・フェジェ英語版リース・フリジェシュが1922年に出版したものがあり、これは以前の証明より大幅に短い。この証明では、リーマンによる証明と同様に、求める写像は極値問題の解として得られる。フェジェ=リースの証明は アレクサンダー・オストロフスキー英語版とカラテオドリにより更に簡素化された。