Spazio di Hilbert

In matematica lo spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo.

Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico David Hilbert all'inizio del XX secolo e hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'analisi funzionale e armonica. Il loro interesse risiede nella conservazione di alcune proprietà degli spazi euclidei in spazi di funzioni infinito-dimensionali. Grazie agli spazi di Hilbert è possibile formalizzare la teoria delle serie di Fourier e generalizzarla a basi arbitrarie.

Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un insieme con una struttura lineare (spazio vettoriale) su cui è definito un prodotto scalare (quindi è possibile parlare di distanze, angoli, ortogonalità) e tale che sia garantita la completezza, ovvero che qualunque successione di Cauchy ammetta come limite un elemento dello spazio stesso. Nelle applicazioni i vettori elementi di uno spazio di Hilbert sono frequentemente successioni di numeri complessi o funzioni.

Lo spazio di Hilbert è cruciale nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica, dove uno stato fisico può essere rappresentato da un elemento (vettore o ket) o da una opportuna combinazione lineare di elementi di tale spazio. Lo stato fisico contiene informazioni che possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento che appartiene a un nuovo spazio di Hilbert (detto duale) che è chiamato funzione d'onda. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli spazi di Hilbert allargati, che consentono di formalizzare sia stati liberi sia stati legati attraverso la teoria delle distribuzioni.

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