Paradosso di Curry

Il paradosso di Curry è un paradosso della teoria ingenua degli insiemi, e deve il suo nome al logico e matematico statunitense Haskell Curry che lo pubblicò nel 1942. Esso è basato sulla costruzione di un'affermazione autoreferenziale da cui si possono dedurre, tramite alcune semplici regole di inferenza, l'asserzione stessa ed ogni altra proposizione.

Svolgimento

Il paradosso consiste nell'affermare una proposizione del tipo: “Se questa frase è vera, allora Babbo Natale esiste”. Bisogna anzitutto considerare che questo enunciato è di tipo autoreferenziale, ovvero il termine “questa frase” in esso contenuto vuole indicare l'intera espressione. In sostanza, si tratta di formulare l'enunciato A, dove per A si intende la proposizione “Se A è vero, allora Babbo Natale esiste”. Valendosi delle regole della logica del primo ordine, appare facile mostrare come questa affermazione non possa che essere vera.

Si procede nel modo seguente:

Supponiamo che l'enunciato A, che è della forma Φ → Ψ ([antecedente=] A è vero → [conseguente=] Babbo Natale esiste), sia falso. Ma un enunciato della forma Φ → Ψ è falso se e solo se Φ è vero e Ψ è falso. Dunque, A è falso se e solo se l'antecedente “A è vero” è vero ed il conseguente “Babbo Natale esiste” è falso. Ma sostenere che l'antecedente “A è vero” è vero equivale a definire vero A, e ciò contraddice l'ipotesi di partenza. Dobbiamo dunque concludere che l'enunciato A è vero. Allora, per modus ponens, affermiamo che “Babbo Natale esiste”. Infatti, in una formula condizionale vera in cui sia vero l'antecedente, il conseguente risulta anch'esso vero. È poi ovvio che si può sostituire all'espressione “Babbo Natale esiste” un enunciato B qualsiasi, che faccia un'asserzione qualunque.