Decomposizione in fratti semplici

In algebra, la decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale, anche detta decomposizione in frazioni semplici o espansione in fratti semplici, è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice. Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.

Per illustrare l'idea del procedimento, sia data una funzione razionale , in cui e sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione del denominatore. Per ogni fattore che ha la forma si considerano le frazioni , mentre per ogni fattore che ha la forma si considerano le frazioni:

Si ottiene così la scrittura:[1]

e calcolando i coefficienti e si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza. Essa conduce quindi ad un'espressione del tipo:

dove e sono polinomi di grado inferiore rispetto a e .

Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.

En otros idiomas