Sierpiński-háromszög

Sierpiński-háromszög

A Sierpiński-háromszög Wacław Sierpiński lengyel matematikus által megtalált fraktál, amely úgy áll elő, hogy egy szabályos háromszögből elhagyjuk az oldalfelező pontok összekötésével nyert belső háromszöget, majd az így maradt három háromszögre rekurzívan alkalmazzuk ugyanezt az eljárást.

Hausdorff-dimenziója log(3)/log(2) ≈ 1,585.

Hasonló eljárással állítható elő egy négyzetből a Sierpiński-szőnyeg.

Konstrukciója

A Sierpiński-háromszög konstrukciójához többnyire egyenlő oldalú háromszöget választanak. Ez azonban nem kötelező; bármely háromszögből lehet Sierpiński-háromszöget készíteni.

A Sierpiński-háromszög konstrukciójának lépései

Ez a klasszikus algoritmus a fraktál bemutatására is szolgál:

  1. Vegyél egy háromszöglemezt;
  2. Húzd be a középvonalait
  3. Távolítsd el a középső háromszöget
  4. Ismételd ezeket a lépéseket a keletkezett kis háromszögekre

Minden lépésben a keletkező kis háromszögek oldalhossza megfeleződik, és területük a negyedére csökken, miközben a középső háromszög eltűnik.

Valójában a Sierpiński-háromszög határértékként kapható: azokból a pontokból áll, amit minden egyes iterációs lépés tartalmaz, vagyis ami végtelen sok lépés után megmarad a háromszögből. A számítógépes ábrázolások legfeljebb tízszer végzik el az iterációt, mivel az emberi szem és a számítógép képernyője számára a további lépésekben semmilyen változás nem látszik.

A klasszikus területszámítás módszerei szerint az iterációs lépésekben visszamaradt terület tart nullához.

Más nyelveken