Matematikai analízis

Az analízis vagy függvénytan a matematika egyik részterülete, amely a függvények vizsgálatával (analízisével) foglalkozik.

Fő területei például a numerikus, komplex és a valós analízis, ezen belül a differenciálszámítás, az integrálszámítás, a határértékek számítása, és a differenciálegyenletek elmélete; végtelen sorok, sorozatok; a metrikus terek elmélete és általában a topológia bizonyos ágai, az analitikus rendszerelmélet, a funkcionálanalízis.[1]

Története

A mai matematikai analízis kezdetei a tudományos forradalom időszakára, a 17. századra datálhatóak.[2] Ugyanakkor sok alapelv visszakövethető egészen korai matematikusokhoz. A korai felhasználásra és eredményekre példa a korai görög matematika: a végtelen mértani sorok már Zénon egyik paradoxonában is feltűnnek.[3] Későbbi görög matematikusok, mint Eudoxosz és Arkhimédész az ún. kimerítéses eljárásaikban ezeket az eljárásokat konkrétan felhasználták, például hogy kiszámítsák testek felületét és térfogatát.[4] Ázsiában kínai matematikusok a kimerítési eljárást alkalmazták, hogy meghatározzák a kör területét (i. e. 3. század).[5] Cu Csung-cse az 5. században olyan módszert alkalmaztott a gömb térfogatának meghatározásához, amely később a Cavalieri-elv néven vált ismertté.[6]Indiában, a 12. században Bhaskara példákat adott a derivált kiszámítására, és kimondta a ma Rolle-tétel néven ismert állítást.[7]

A 14. században Szangamagrámi Mádhava kifejlesztette a végtelen sorba fejtés technikáját és a hatványsorokat, valamint bizonyos szögfüggvényekre vonatkozóan alkalmazta a Taylor-sorokat.[8] Ezzel párhuzamosan azt is meghatározta, hogy mekkora a hiba nagyságrendje, ha a sorba fejtést csak egy bizonyos pontig végezzük el. Követői egészen a 16. századig dolgoztak munkája továbbfejlesztésén.

A mai modern analízis alapjait a 17. századi Európában rakták le.[2] Newton és Leibniz egymástól függetlenül kifejlesztették az infinitezimálisokra épülő analízist, ami később – egészen a 18. századig – olyan ágakként fejlődött tovább, mint a variációanalízis, a differenciálegyenletek és a Fourier-analízis.

A 18. században Euler bevezette a ma használatos függvény fogalmát.[9] Ezután a valós függvények analízise elkezdett különválni az analízis más részeitől. Ennek első lépése, hogy Bolzano 1816-ban megalkotta a ma is használatos folytonosság definícióját.[10] Ugyanakkor Bolzano munkája egészen az 1870-es évekig széles körben ismeretlen maradt. 1821-ben Cauchy megkezdte az analízis szigorú formalizálását azzal, hogy első lépésként elutasította az úgynevezett algebra általánossága elvét, amelyet korábban elterjedten alkalmaztak az analízisben, például Euler is. Ehelyett Cauchy formalizálta az analízist, geometriai elvekre és infinitezimálisokra építve azt. Így az ő folytonosság definíciója azt követelte meg, hogy egy x infinitezimális változásához y-nak is infinitezimális változása tartozzék. Bevezette a Cauchy-sorozatokat is, és elkezdte kidolgozni a formális definíciókra épülő komplex analízist. Poisson, Liouville, Fourier és mások pedig a parciális differenciálegyenleteket tanulmányozták. Ezen és más matematikusok, mint Weierstrass együttműködése vezetett a határérték ma használt (ε, δ)-ás definíciójához, vagyis a mai modern analízis alapjához.

A 19. század közepén Riemann bevezette a saját integrálelméletét. A század vége felé Weierstrass, aki úgy gondolta, hogy a geometriai bizonyítások nem kielégítőek – vagy egyenesen félrevezetőek –, bevezette a határérték (ε, δ)-ás definícióját. Ezután a figyelem középpontjába a valós számok teljessége került. Dedekind a valós számokat Dedekind-vágással (Dedekind-szelet) vezette be, amely definíciójából következően teljes. Ezzel egy időben megindult a valós Riemann-integrálható függvények tulajdonságainak vizsgálata a szakadások tekintetében.

Az extrém és a szélső esetek is tárgyalásra kerültek, mint például az olyan függvények, amelyek mindenhol folytonosak, de sehol sem differenciálhatók; sehol nem folytonos függvények, térkitöltő görbék. Ezzel kapcsolatban Jordan bevezette a saját mértékét, Cantor pedig kifejlesztette a naiv halmazelméletet. A 20. század elején az analízist a halmazelmélet segítségével formalizálták. Lebesgue "rendet tett" a mértékek tekintetében, míg Hilbert az integrálegyenletek megoldásához bevezette a Hilbert-tereket. 1920-ban pedig Banach megalkotta a funkcionálanalízist.

Fontos fogalmak

Metrikus tér

A metrikus tér olyan halmaz, amelyen értelmezett egy távolságfüggvény (metrika), amely kielégít bizonyos kritériumokat.

Az analízis kifejlesztésének nagy része különféle metrikus terekben zajlott pl.: a valós számegyenesén, a komplex számsíkon, Euklidészi terekben, és más vektorterekben.

Matematikailag a metrikus tér egy rendezett pár ahol egy halmaz és a halmazon értelmezett metrika, ami egy kétváltozós nemnegatív valós értékű függvény, vagyis:

úgy, hogy a következők teljesülnek bármely -re:

  1.     (nemnegativitás),
  2. akkor és csak akkor ha    
  3.     (szimmetria) és
  4.     (háromszög-egyenlőtlenség) .

Fő ágak

Valós analízis

A valós analízis a matematikai analízis azon ága amely valós függvények (valós értékű, valós argumentumú függvények) vizsgálatával foglalkozik.[11][12] Különösen ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja ideértve sorozatok konvergenciáját, határértékét folytonosságát, és egyéb tulajdonságokat.

Komplex analízis

A komplex analízis komplex függvények analízisével foglalkozik.[13]

Funkcionálanalízis

A funkcionálanalízis alapja a vektorterek megjelenésével jelent meg, pl.: belső szorzat, norma, topológia és a lineáris operátorok.[14][15] A funkcionálanalízis történetileg a függvényterek vizsgálatából alakult ki, ill. fontos szerepe volt a Fourier-transzformáció vizsgálatának is.

Differenciálegyenletek

Mértékelmélet

A mérték egy függvény amely halmazokhoz rendel számokat úgy, hogy a szám összefüggésben áll valamilyen módon a halmaz "nagyságával".[16] Vagyis a mérték olyan fogalmak általánosításának feleltethető meg mint a hosszúság, terület, és térfogat. Egy különösen fontos példa a Lebesgue-mérték.

A hozzárendelt számnak nemnegatív valós számnak kell lennie vagy +∞-nek. Az üres halmaz mértéke kötelezően 0., és teljesülnie kell a σ-additivitásnak. Az úgynevezett nem mérhető halmazok létezése az euklideszi térben ekvivalens az axiomatikus halmazelmélet (ZF) kiválasztási axiómájával.

Numerikus analízis

Alkalmazások

A fizikában

A klasszikus mechanika nagy része a relativitáselmélet, és a kvantummechanika is az analízisre épül, pontosabban a differenciálegyenletekre. Differenciálegyenlet például Newton második törvénye és a Schrödinger-egyenlet.

A funkcionálanalízis szintén fontos eleme a kvantummechanikának.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mathematical analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek

  1. Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
  2. a b Jahnke, Hans Niels. A History of Analysis. American Mathematical Society, 7. o. (2003). ISBN 978-0-8218-2623-2 
  3. Stillwell. Infinite Series, , 170. o. (2004) „Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series 12 + 122 + 123 + 124 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 14 + 142 + 143 + ... = 43. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series” 
  4. (Smith, 1958)
  5. (1966) „A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles130, 279. o, Kiadó: Springer. A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles” 130, 279. o, Kiadó: Springer. Chapter , p. 279
  6. Calculus: Early Transcendentals, 3, Jones & Bartlett Learning, xxvii. o. (2009). ISBN 0-7637-5995-3ISBN 0-7637-5995-3Extract of page 27
  7. Seal, Sir Brajendranath (1915), The positive sciences of the ancient Hindus, Longmans, Green and co.
  8. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari (1978. június 1.). „On an untapped source of medieval Keralese Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences 18, 89–102. o. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences 18, 89–102. o. halott link]
  9. Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 17. o. (1999) 
  10. *Cooke, Roger. Beyond the Calculus, The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience, 379. o. (1997). ISBN 0-471-18082-3 „Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)” 
  11. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis, 3rd, Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics, McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 
  12. Abbott, Stephen. Understanding Analysis, Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag (2001). ISBN 0-387-95060-5 
  13. Ahlfors.,Complex Analysis (McGraw-Hill)
  14. Walter Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
  15. John B. Conway: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  16. Terence Tao, 2011. An Introduction to Measure Theory. American Mathematical Society.

Források

  • Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984. Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
  • Apostol, Tom M. 1974. Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
  • Binmore, K.G. 1980–1981. The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
  • Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981. Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
  • Nikol'skii, S. M. 2002. "Mathematical analysis". In Encyclopaedia of Mathematics, Michiel Hazewinkel (editor). Springer-Verlag. ISBN 1-4020-0609-8.
  • Rombaldi, Jean-Étienne. 2004. Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques. EDP Sciences. ISBN 2-86883-681-X.
  • Walter Rudin. 1976. Principles of Mathematical Analysis. McGraw–Hill Publishing Co.; 3rd revised edition (September 1, 1976), ISBN 978-0-07-085613-4.
  • Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
  • Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.
  • Edmund Taylor Whittaker and George Neville Watson. 1927. A Course of Modern Analysis. 4th edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.
  • http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/114/07/html/home/course/course.pdf

További információk

Más nyelveken
Afrikaans: Analise
Alemannisch: Analysis
العربية: تحليل رياضي
azərbaycanca: Riyazi analiz
беларуская (тарашкевіца)‎: Матэматычны аналіз
corsu: Analisa
Deutsch: Analysis
Esperanto: Analitiko
Nordfriisk: Analysis
贛語: 數學分析
kriyòl gwiyannen: Analiz (matématik)
Bahasa Indonesia: Analisis matematis
日本語: 解析学
Lëtzebuergesch: Analys (Mathematik)
Lingua Franca Nova: Analise matematical
Bahasa Melayu: Analisis matematik
Nederlands: Analyse (wiskunde)
norsk nynorsk: Analyse i matematikk
srpskohrvatski / српскохрватски: Matematička analiza
Simple English: Mathematical analysis
slovenščina: Matematična analiza
Türkmençe: Analiz
татарча/tatarça: Математик анализ
oʻzbekcha/ўзбекча: Matematik analiz
Tiếng Việt: Giải tích toán học
吴语: 数学分析
中文: 数学分析
文言: 分析學
粵語: 數學分析