Háló (matematika)

4 elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse-diagramja.

A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik rendezési relációkkal (ld. részbenrendezett halmazok) definiálja a háló fogalmát, a másik pedig (amely R. Dedekindtől ered, aki a német Dualgrouppe (duálcsoport, kettőscsoport) elnevezést találta rá ki [1]) kétváltozós műveletekkel, kétműveletes algebrai struktúraként. A részbenrendezett halmazok közül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.

Definíció

A háló alábbi két definíciója ekvivalens:

Definíció részbenrendezett halmazok használatával

Az részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Az részbenrendezett halmazt teljes hálónak nevezzük, ha bármely részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Definíció algebrai struktúrák használatával

Az kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha , kétváltozós műveletek -n, amelyekre tetszőleges elemekre teljesülnek a következők:

, ( kommutativitás),
, ( asszociativitás),
, ( elnyelési azonosságok).

Az műveletet egyesítésnek, a műveletet pedig metszetnek hívjuk.

Ha a két műveletet megcseréljük, akkor a duális hálót kapjuk.