Trokut Sierpińskog

trokut Sierpińskog

Trokut Sierpińskog je fraktal kojeg je opisao poljski matematičar Wacław Franciszek Sierpiński 1915. godine. Jedan je od najjednostavnijih primjera fraktala, fraktalna mu je dimenzija .


Konstrukcija

Počinjemo s jednakostraničnim trokutom. Odredimo polovišta stranica te od početnog trokuta oduzmemo trokut koji nastaje spajanjem polovištâ. Ostaju tri jednakostranična trokuta dvostruko manjih duljina stranica od početnog; sa svakim ponovimo postupak. Trokutom Sierpińskog nazivamo skup točaka koji ostane kad broj oduzimanja ( iteracija) teži nuli.

Sierpinski triangle evolution.svg

Drugi način konstrukcije trokuta Sierpińskog jest da se početni trokut skalira s faktorom 1/2 te se naprave dvije kopije koje se smjeste tako da jednim vrhom dodiruju drugu kopiju, a drugim početni (skalirani) trokut. Rezultat je, naravno, isti, ali se ova metoda može koristiti za razne druge oblike, kao na slici:

Sierpinski dog.gif


Koristeći L-sustav

druga, četvrta, šesta i deveta iteracija trokuta Sierpinskog pomoću L-sustava

Trokut Sierpińskog je prvobitno bio predstavljen kao krivulja te se kao takav može prikazati Lindenmayerovim sustavom:

  • Početak: A
  • Pravila:
    • A → B - A − B
    • B → A + B + A
  • Značenje:
    • A, B = "crtaj naprijed"
    • - = "zakreni u smjeru kazaljke na satu za 60°"
    • + = "zakreni u smjeru suprotnom od smjera kazaljke na satu za 60°"

Dakle,

  1. nulta iteracija: A
  2. prva iteracija: B - A − B
  3. druga iteracija: A + B + A - B - A − B - A + B + A

itd.


Kao sustav iteriranih funkcija (IFS)

trokut Sierpińskog napravljen kao IFS od 500, 5000, 50000 i 500000 točaka

Trokut Sierpińskog se može dobiti i primjenjujući ove transformacije:

vjerojatnost transformacije objašnjenje
xn+1 = 0.5 xn
yn+1 = 0.5 yn
upola manja kopija u donjem lijevom uglu
xn+1 = 0.5 xn + 1
yn+1 = 0.5 yn
upola manja kopija u donjem desnom uglu
xn+1 = 0.5 xn + 0.5
yn+1 = 0.5 yn + 0.5
upola manja kopija gore


Other Languages