स्प्लाईन (गणित)

छः बहुपद खंडों से बनी एक द्विघात स्प्लाईन। इस स्प्लाइन के बिंदु 0 और 1 का भाग एक सरल रेखा है ; बिंदु 1 और 2 के बीच का भाग एक परवलय है जिसका द्वितीय अवकलज = 4 है ; बिंदु 2 और 3 के बीच का खण्ड भी एक परवलय है जिसका द्वितीय अवकलज = - 2 है ; बिन्दु 3 और 4 के बीच का खण्ड एक सरल रेखा है ; बिंदु 4 और 5 बिंदु द्वितीय अवकलज = 6 वाला परवलय है ; बिन्दु 5 और 6 के बीच एक सरल रेखा है।
सात बहुपद खण्डों से निर्मित एक घन स्प्लाईन। पल्स (भौतिकी) लेख में यही स्प्लाइन स्पंद (pulse) को निरूपित करने के लिये प्रयुक्त हुआ है।
ऊपर दर्शाई गयी घन स्प्लाईन का द्वितीय अवकलज (second derivative)

गणित में कई निष्कोण वक्रों (smooth curves) को जोड़कर बने वक्र को स्प्लाइन (Spline) कहते हैं। अतः यह एक पर्याप्त रूप से निष्कोण खण्डश: बहुपद (piecewise polynomial) है। अन्तर्वेशन की समस्याओं में स्प्लाईन अन्तर्वेशन प्रायः बहुपद अन्तर्वेशन (polynomial interpolation) की तुलना में अधिक पसंद किया जाता है क्योंकि यह कम डिग्री के बहुपदो का उपयोग करते हुए भी समान परिणाम देता है। इसके अलावा उच्च डिग्री के उपयोग से बहुपद अन्तर्वेशन में आने वाली रुंग परिघटना (Runge's phenomenon) स्प्लाइन अन्तर्वेशन में नहीं आती।

कंप्यूटर ग्राफिक्स में स्प्लाईन का बहुत उपयोग होता है क्योंकि इनका गठन सरल होता है, मूल्यांकन यथार्थ एवं आसान है और यह जटिल आकार को भी इंटरैक्टिव कर्व डिजाईन के माध्यम से सन्निकटीकरण (approximation) करने में सक्षम है। सामान्यतः घन स्प्लाइन (cubic spline) (त्रिघाती स्प्लाईन), विशेष रूप से घन B-spline एवं घन Bézier spline उपयोग में लाए जाते हैं।

परिभाषा

स्प्लाईन एक खंडित बहुपद रियल फंक्शन है।

एक अंतराल [a,b] जो की k क्रमांकित एवं विभिन्न उप अंतरालों से निर्मित है एवं

.

S को i अंतराल के लिए सीमित करना एक बहुपद है

,

ताकि

बहुपद का उच्चतम क्रम स्प्लाईन का क्रम् S कहलाता है। यदि सभी उप-अंतराल एक ही अवधि के हैं तब स्प्लाईन uniform कहलाता है अन्यथा वह non-uniform कहलाता है।

हमारा इरादा एक ऐसे बहुपद चुनने का है जो की S की पर्याप्त निर्विघ्नता की गारंटी देता है। विशेष रूप से, n क्रम के स्प्लाईन के लिए S को n-1 क्रम तक आतंरिक बिंदुओं : सभी और सभी पर लगातार विभेदित होना जरूरी है।


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