Valor propio, vector propio e espazo propio

Nesta transformación da Mona Lisa, a imaxe deformouse de tal forma que o seu eixe vertical non cambiou (Nota: recortáronse as esquinas na imaxe da dereita). O vector azul, representado pola frecha azul que vai dende o peito até o ombreiro, cambiou de dirección, mentres que o vermello, representado pola frecha vermella, non cambiou. O vector vermello é entón un vector propio da transformación, mentres que o azul non o é. Dado que o vector vermello non cambiou de lonxitude, o seu valor propio é 1. Todos os vectores desta mesma dirección son vectores propios, co mesmo valor propio. Forman un subespacio do espazo propio deste valor propio.

En álxebra linear, os vectores propios, autovectores ou eigenvectores dun operador linear son os vectores non nulos que, cando son transformados polo operador, dan lugar a un múltiplo escalar de si mesmos, co que non cambian a súa dirección. Este escalar recibe o nome valor propio, autovalor, valor característico ou eigenvalor. A miúdo, unha transformación queda completamente determinada polos seus vectores propios e valores propios. Un espazo propio, autoespazo, eigenespazo ou subespazo fundamental asociado ao valor propio é o conxunto de vectores propios cun valor propio común.

A palabra alemá eigen, que se traduce en galego como propio, empregouse por primeira vez neste contexto por David Hilbert en 1904 (aínda que Helmholtz a empregara previamente cun significado parecido). Eigen traduciuse tamén como inherente, característico ou o prefixo auto-, onde se aprecia a énfase na importancia dos valores propios para definir a natureza única dunha determinada transformación linear. As denominacións vector e valor característicos tamén se utilizan habitualmente.

Introdución

As transformacións lineares do espazo —como a rotación, a reflexión, o alargamento, ou calquera combinación das anteriores; nesta lista poderían incluírse outras transformacións— poden interpretarse mediante o efecto que producen nos vectores. Os vectores poden visualizarse como frechas dunha certa lonxitude apuntando nunha dirección e sentido determinados.

  • Os vectores propios das transformacións lineares son vectores que, ou non son afectados pola transformación ou só resultan multiplicados por un escalar e, polo tanto, non varían a súa dirección.[1]
  • O valor propio dun vector propio é o factor de escala polo que foi multiplicado.
  • Un espazo propio é un espazo formado por todos os vectores propios do mesmo valor propio, ademais do vector nulo, que non é un vector propio.
  • A multiplicidade xeométrica dun valor propio é a dimensión do espazo propio asociado.
  • O espectro dunha transformación en espazos vectoriales finitos é o conxunto de todos os seus valores propios.

Por exemplo, un vector propio dunha rotación en tres dimensións é un vector situado no eixe de rotación sobre o cal se realiza a rotación. O valor propio correspondente é 1 e o espazo propio é o eixe de xiro. Como é un espazo dunha dimensión, a súa multiplicidade xeométrica é un. É o único valor propio do espectro (desta rotación) que é un número real.

Definición

Formalmente, defínense os vectores propios e valores propios da seguinte maneira: sexa A: VV un operador linear nun certo -espazo vectorial V e v un vector non nulo en V. Se existe un escalar c tal que


entón dise que v é un vector propio do operador A, e o seu valor propio asociado é c. Cómpre observar que se v é un vector propio co valor propio c entón calquera múltiplo diferente de cero de v é tamén un vector propio co valor propio c. De feito, todos os vectores propios co valor propio asociado c xunto con 0, forman un subespazo de V, o espazo propio para o valor propio c. Ademais un espazo propio Z é un subespazo invariante de A, é dicir dado w un vector en Z, o vector Aw tamén pertence a Z.

Other Languages
беларуская: Уласны вектар
беларуская (тарашкевіца)‎: Уласныя лікі, вэктары і прасторы
עברית: ערך עצמי
Bahasa Indonesia: Nilai dan vektor Eigen
íslenska: Eigen gildi
日本語: 固有値
한국어: 고윳값
norsk: Egenvektor
slovenščina: Lastna vrednost
українська: Власний вектор
اردو: ویژہ قدر
Tiếng Việt: Vectơ riêng
粵語: 特徵向量