Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés sur lesquelles il est possible d'effectuer les opérations du calcul différentiel et intégral.

Une variété différentielle se définit d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l' espace ℝn. Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales. La structure différentielle est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes. Cette structure permet par exemple de donner une définition globale de la notion d'application différentiable.

Définition par un atlas

Pour une introduction informelle voir l'article Variété (géométrie).

Cartes locales et atlas

Article détaillé : Carte locale.
L'application de projection stéréographique définit une carte locale sur la sphère.

Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé à base dénombrable, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l' espace vectoriel topologiquen. Plus précisément :

, il existe un voisinage ouvert et un homéomorphisme On dit alors que est une carte locale de M.

Une famille de cartes qui recouvre (entièrement) M constitue un atlas de la variété M.

Un tel atlas est dit de classe Ck, 1 ≤ k ≤ +∞, si : pour tous les indices i et j tels que , l'application de changement de cartes

est un difféomorphisme de classe Ck, c'est-à-dire une bijection de classe Ck dont la bijection réciproque est aussi de classe Ck.

Structure de variété différentielle

Deux atlas de classe Ck sur une même variété topologique M sont dits compatibles lorsque leur réunion est encore un atlas de classe Ck. La relation de compatibilité ainsi introduite est une relation d'équivalence pour les atlas.

Les classes d'équivalence définissent la structure de variété différentielle : une variété différentielle (ou variété différentiable) de classe Ck est une variété topologique munie d'une famille d'atlas de classe Ck tous compatibles avec un atlas donné. Une variété lisse est une variété différentielle de classe C.

Dans chaque classe d'équivalence existe un représentant privilégié, l'atlas maximal, obtenu en considérant toutes les cartes compatibles avec l'atlas initial.

Les exemples les plus classiques de variétés différentielles sont les ouverts de l'espace euclidien ℝn, la sphère de dimension n, le tore de dimension n, les espaces projectifs réels ou complexes.

Variantes

On obtient une variété analytique en exigeant que les applications de changements de cartes soient des fonctions analytiques.

La géométrie complexe étudie les variétés analytiques complexes (ou variétés complexes), définies de façon analogue sur le corps des complexes, avec des applications de changement de cartes qui sont biholomorphes.

Il est possible d'étudier des variétés modelées sur des espaces vectoriels de dimension infinie, comme les variétés de Banach ou de Fréchet.