Variété algébrique

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Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.

Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique.

Définition

Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynomiales.

L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement des ensembles algébriques affines lorsque le corps de base est algébriquement clos.

Variétés algébriques

On fixe un corps k. Un espace localement annelé en k-algèbres est constitué d'un espace topologique et d'un faisceau de k-algèbres sur tel que les germes aux points de sont des anneaux locaux.

Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé en k-algèbres qui admet un recouvrement fini par des ouverts affines (c'est-à-dire que l'espace O X {\displaystyle O_{X}} dans la notation d'une variété algébrique.

Bien que la structure d'une variété algébrique dépende du faisceau structural , notamment pour les variétés non réduites, on note généralement une variété algébrique simplement par sans .

Si est une partie ouverte de , les éléments de l'anneau s'appellent les fonctions régulières sur . Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de dans k.

Exemples

  • Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine si et seulement si elle est de dimension 0, c'est-à-dire consiste en un nombre fini de points.
  • Soit le plan affine , soit le point de correspondant à l'idéal maximal de engendré par . Alors le complémentaire de est une partie ouverte. Une fonction régulière sur doit être régulière sur la partie ouverte , donc est une fraction rationnelle de dénominateur une puissance de . Par symétrie, elle a aussi pour dénominateur une puissance de . On conclut que . On montre que n'est ni une variété affine, ni une variété projective. Elle est cependant quasi-affine, c'est-à-dire ouvert d'une variété affine.

Fonctions régulières vues comme des fonctions

Soit une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k. On fixe un ouvert et une fonction régulière . On veut identifier à une application de dans k.

Pour tout , le corps résiduel en est égal à k. En effet, si on prend un voisinage ouvert affine de . Alors correspond à un idéal maximal . Par le théorème des zéros de Hilbert, on a . Par ailleurs, le corps résiduel de est précisément . On note l'image canonique de dans k par . Donc on obtient une application qui à associe .

On suppose de plus que est une variété réduite, c'est-à-dire que est un anneau réduit pour tout ouvert (cela revient à dire que est une rénion finie d'ouverts affines A i {\displaystyle A_{i}} réduits). Alors à l'aide du théorème des zéros de Hilbert, on montre sans peine que l'application est identiquement nulle si et seulement si est nul. Ainsi l'anneau des fonctions régulières sur s'identifie à un sous-anneau de l'ensemble des fonctions . Lorsque U est un ensemble algébrique affine dans , une fonction régulière est alors simplement la restriction à U d'une application polynomiale .

Morphismes

Un morphisme de variétés algébriques sur k est un morphisme d'espaces localement annelés sur k. Il est donc constitué d'une application continue et d'un morphisme de faisceaux de k-algèbres .

On peut expliciter le morphisme comme suit. Si est un ouvert de et , alors est un morphisme de k-algèbres, avec en plus une compatibilité avec les structures des anneaux locaux. Quand on peut identifier les fonctions régulières comme des fonctions sur , alors envoie une fonction régulière vers la fonction .

En général on omet dans la notation du morphisme .

Étant données deux morphismes de variétés algébriques , sur le même corps, on peut les composer et obtenir un morphisme .

Le morphisme identité sur est constitué de l'application identité , et du morphisme identité sur .

Un isomorphisme est un morphisme qui admet un inverse. Cela revient à dire que l'application est un homémorphisme et que est un isomorphisme. Deux variétés algébriques sont dites isomorphes s'il existe entre eux un isomorphisme de variétés algébriques.

La classe des variétés algébriques sur k forment une catégorie.

  • Morphismes vers une variété algébrique affine

Soit une variété algébrique affine associée à une k-algèbre . Pour tout morphisme de variétés algébriques , le morphisme de faisceaux fournit, en prenant les sections sur , un morphisme de -algèbres .

  • Proposition L'application MorHom est bijective et fonctorielle en et en .

Restreinte aux variétés affines , cette proposition dit que la catégorie des variétés algébriques affines sur est équivalente à la catégorie (opposée) des algèbres de type fini sur .

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