Unité imaginaire

En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté i (parfois j en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique), dont le carré vaut –1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs.

L'appellation d'« imaginaire[note 1] » est due à René Descartes[1] et celle d'« unité imaginaire » à Carl Friedrich Gauss. Sans avoir disparu, elle n'est pas d'un usage très généralisé chez les mathématiciens, qui se contentent souvent de parler du nombre i.

Constructions

Puisque tous les nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être considérée comme un point de la droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.

Sa première apparition était sous la forme de –1, écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels et qui signifie seulement que l'on « imagine » un nombre dont le carré vaudrait –1.

Plusieurs approches sont possibles pour proposer une construction formelle de i.

On peut considérer les complexes comme la structure quotient de l'anneau commutatif ℝ[X] des polynômes réels par l'idéal engendré par le polynôme X2 + 1 :

  • il s'agit en fait de ne conserver dans un polynôme que son reste dans la division euclidienne par X2 + 1. Ainsi, par exemple, X3 + 3X2 + 2X + 1 sera identique à X – 2 car X3 + 3X2 + 2X + 1 = (X + 3)(X2 + 1) + X – 2 ;
  • on remarque alors que, dans cet ensemble, X2 = –1 car X2 = (X2 + 1) – 1. On pose alors i = X ;
  • tous les autres restes qui s'écrivent a + bX s'écrivent alors a + bi.

On peut également considérer l'ensemble des complexes comme l'ensemble des couples de réels, muni de l'addition terme à terme et d'une multiplication plus sophistiquée : (a, b) × (c, d) = (ac – bd, ad + bc). Avec cette multiplication, le couple (0, 1) vérifie (0, 1)2 = (–1, 0). On assimile tous les couples (x, 0) aux réels x ; on a alors (0, 1)2 = –1 et le couple (0, 1) est choisi comme représentation de l'unité imaginaire.

Enfin, dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, U, V), on peut associer l'ensemble des complexes à l'ensemble des vecteurs du plan muni de l'addition usuelle et d'une multiplication plus sophistiquée :

où C est le point tel que les triangles OUA et OBC soient directement semblables.

  • À tout vecteur de l'axe (OU) , on associe son abscisse x. L'axe (OU) est alors appelé l'axe des réels.
  • On remarque alors que
    .
  • On note alors i ce vecteur. À tout vecteur de l'axe (OV) d'abscisse y, on associe l'imaginaire pur iy.
  • Ainsi, à chaque vecteur d'origine O et d'extrémité A, puis à chaque point A de coordonnées (x, y) on associe le complexe x + iy. On parle alors du plan complexe ℂ.

Le nombre imaginaire i est un outil mathématique utile pour apporter des « solutions supplémentaires » à certaines équations, en ajoutant une dimension aux nombres réels (remplacement d'une droite par un plan) ; les nombres comportant un multiple de cette unité imaginaire sont appelés « nombres complexes ».

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