Triangle de Sierpiński

Triangle de Sierpiński

Le triangle de Sierpiński, aussi appelé par Mandelbrot le joint de culasse de Sierpiński[1], est une fractale, du nom de Wacław Sierpiński.

Il peut s'obtenir à partir d'un triangle « plein » , par une infinité de répétitions consistant à diviser par deux la taille du triangle puis à les accoler en trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. À chaque répétition le triangle est donc de même taille, mais « de moins en moins plein ».

Construction

Algorithme 1
Étapes de construction du triangle de Sierpiński

Un algorithme pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière récurrente suivante :

  1. Commencer à partir d'un triangle quelconque du plan. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un triangle équilatéral ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
  2. Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles.
  3. Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont l'aire est divisée par 4.
  4. Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.

La fractale s'obtient après un nombre infini d'itérations. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.

Algorithme 2

Avec l'algorithme 1, le nombre de triangles à traiter se multiplie de manière exponentielle (×3 à chaque étape : 1, puis 3, puis 9, puis 27, etc. : 3n–1 après la n-ième étape). On peut obtenir le même résultat par une méthode équivalente (mais plus facile à formaliser et calculer) : appliquer trois homothéties de rapport 1/2 et de centre chacun des sommets de la figure, et tracer la nouvelle figure comme union des trois résultats. De cette façon, à chaque étape, il n'y a que trois opérations à faire.

En outre, on peut caractériser le triangle de Sierpiński comme étant l'ensemble laissé fixe par cette transformation, qu'on peut noter ha U hb U hc, où hx l'homothétie de rapport 1/2 de centre x, et où a, b et c sont les sommets du triangle initial.

Triangle de Sierpiński associé à un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 et créé par un générateur d'IFS

Cela implique que si on applique l'itération infinie de l'opération ha U hb U hc à un ensemble fini quelconque, et a, b et c trois points distincts, on obtient (les images « convergent » vers) le triangle de Sierpiński de sommets a, b et c. Le triangle de Sierpiński est l'attracteur du système de fonctions itérées des trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets.

Algorithme 3

Une autre propriété intéressante se révèle si on considère un point quelconque. Ce point constitue un ensemble auquel on peut appliquer les opérations ha, hb et hc. Ainsi, la suite des points obtenus forment un ensemble dense dans le triangle de Sierpiński. On peut même se contenter de n'appliquer qu'une des opérations ha, hb et hc, choisie aléatoirement à chaque étape. Ainsi l'algorithme suivant générera des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński :

On considère un point pris au hasard v1. On pose vn + 1 = 1/2 (vn + pn), où pn est un point aléatoire égal à a, b ou c. On place les points v1 jusqu'à v. Si le point initial v1 est un point du triangle de Sierpiński, alors tous les points vn appartiennent au triangle de Sierpiński. Si le premier point v1 se trouve dans le périmètre du triangle et n'est pas un point du triangle de Sierpiński, alors aucun des points vn n'appartient au triangle de Sierpiński, cependant la suite des points vn converge vers un point du triangle de Sierpiński. Même si v1 est hors du triangle, la probabilité qu'il existe un point de la suite à partir duquel tous les points sont dans le triangle a, b, c, est égale à 1, et ils seront alors soit tous dans le triangle de Sierpiński, soit tous en dehors mais en s'en rapprochant aussi arbitrairement que souhaité.

Algorithme 4

Si on le construit à partir d'un triangle de Pascal avec 2n lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du triangle de Sierpiński.

Triangle de Sierpiński avec sept itérations.
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