Théorie algébrique des nombres

En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss.

Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent encore : lemme d'Euclide, identité de Bézout ou encore théorème fondamental de l'arithmétique. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'anneau quotient ℤ/n composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'arithmétique modulaire.

Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe parfois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier de manière générale les propriétés de ces structures. Si l'ensemble choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que tout élément de l'ensemble est racine d'un polynôme dont le degré ne dépasse pas n, il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont appelées anneaux de Dedekind.[pas clair] L'étude de ces structures est appelée « théorie algébrique classique des nombres ».

Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques considérés tel que tous les éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de corps commutatif, il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui permet de construire les nombres rationnels, on parle de corps des fractions. Ces ensembles dont les éléments sont appelés nombres algébriques sont l'objet d'une théorie dite de Galois.

Des théories mathématiques avancées – comme la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classes, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L – permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées modulo p pour tous les nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est appelé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des corps de nombres. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global.

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