Théorème des deux carrés de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665).
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En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël.

Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au e siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres.

À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques.

Présentation du théorème

Le cas des nombres premiers

Certains nombres premiers sont sommes de deux carrés parfaits. C’est bien sûr le cas de 2 (= 12 + 12) ; de même, 5 est la somme de 1 et de 4. D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Un test systématique jusqu'à 40 montre que :

En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne se décomposent pas ainsi. Le théorème fournit un critère général permettant de discriminer ces deux situations :

Théorème des deux carrés de Fermat (cas des nombres premiers) — Un nombre premier impair p est somme de deux carrés parfaits si et seulement si p est un nombre premier de Pythagore[1], c'est-à-dire congru à 1 modulo 4 :

De plus, cette décomposition est alors unique, à l'échange près de x2 et y2.

On peut démontrer de façon élémentaire qu'il y a une infinité de nombres premiers dans chacune des deux classes impaires de congruence modulo 4 (celle de 1 et celle de –1).

Le cas général

Si, dans un premier temps, les entiers inférieurs à 50 sont écrits sur quatre lignes, en fonction du reste de leur division par quatre, on obtient :

Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. On constate que la quatrième ligne ne contient pas de solution. Or le produit d'un nombre pair de facteurs de la forme 4k + 3 est de la forme 4k + 1, donc cette dernière ligne ne contient que des nombres qui ont un nombre impair de facteurs premiers de la forme 4k + 3. Ceci donne une piste pour comprendre la situation générale. On a :

Théorème des deux carrés (cas général)[2] — Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire.

Ainsi 30 = 2×3×5 n’est pas somme de carrés car dans sa décomposition en facteurs premiers, 3 intervient avec un exposant 1. En revanche, 45 = 32×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 62 + 32).

La question du nombre de paires de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus difficile, ce nombre dépend des exposants des facteurs de n de la forme 4k + 1. En écrivant n = n'p1ap2bp3c…,n' est divisible seulement par 2 et des facteurs premiers de la forme 4k + 3 et où les différents pi sont les facteurs premiers de la forme 4k + 1, et en notant m le produit (a + 1)(b + 1)(c + 1)…, alors le nombre de décompositions différentes de n (normalisées, c.-à-d. sous la forme x2 + y2 avec xy ≥ 0) est égal à m/2 si m est pair, c'est-à-dire si l'un au moins des exposants a, b, c… est impair, et à (m + 1)/2 si m est impair, c'est-à-dire si tous les exposants sont pairs. En particulier, la décomposition est unique lorsque m est égal à 1 ou 2, c'est-à-dire lorsque n ne possède aucun facteur premier de la forme 4k + 1, ou alors un seul et avec exposant 1.

Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par Charles Gustave Jacob Jacobi[3] :

Théorème des deux carrés (compléments)[4] — Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et r2(n) le nombre de représentations de n comme somme de deux carrés. Soit d1 (resp. d3) le nombre de diviseurs (pas nécessairement premiers) de n congrus à 1 (resp. 3) modulo 4, la formule suivante est vérifiée :

.

Ici, on compte toutes les représentations (non normalisées), même celles qui ne diffèrent que par le signe ou l'ordre. Par exemple, 5 = (±2)2 + (±1)2 = (±1)2 + (±2)2 admet 8 représentations comme somme de deux carrés.

Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier donné.

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