Théorème de Wedderburn

Ne doit pas être confondu avec Théorème d'Artin-Wedderburn.

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini est commutatif. Joseph Wedderburn l'a publié en 1905.

Joseph Wedderburn.

Énoncé du théorème

Théorème de Wedderburn. — Tout corps fini est commutatif.

Il est par ailleurs facile d'observer que tout anneau sans diviseur de zéro et fini est un corps (peut-être gauche), puisque la multiplication par un élément non nul, qui est injective par intégrité, est alors aussi surjective dans le cas fini. Puisque le théorème garantit l'inexistence d'un corps non commutatif fini, on en conclut qu'un anneau fini sans diviseur de zéro ne peut lui aussi qu'être un corps commutatif.

Remarque sur la terminologie : diverses sources, notamment sous l'influence de l'anglais où le mot field désigne un corps commutatif, posent la commutativité de la multiplication dans la définition d'un corps fini. Le théorème n'aurait aucun sens si on interprétait ainsi l'expression « corps fini » qui y figure. L'énoncé doit être lu en y comprenant « corps » dans la signification la plus usitée en France[1], celle qui n'exclut pas une multiplication non commutative. En d'autres termes, le théorème énonce qu'un corps gauche (non commutatif) ne peut être fini.