Théorème de Bayes

Théorème de Bayes sur néon bleu, dans les bureaux d’Autonomy à Cambridge.

Le théorème de Bayes est un résultat de base en théorie des probabilités, issu des travaux du révérend Thomas Bayes et retrouvé ensuite indépendamment par Laplace. Dans son unique article, Bayes cherchait à déterminer ce que l’on appellerait actuellement la distribution a posteriori de la probabilité d’une loi binomiale. Ses travaux ont été édités et présentés à titre posthume (1763) par son ami Richard Price dans Un essai pour résoudre un problème dans la théorie des risques (An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances). Les résultats de Bayes ont été étendus dans un essai de 1774 par le mathématicien français Laplace, lequel n’était apparemment pas au fait du travail de Bayes[1].

Le résultat principal obtenu par Bayes est le suivant : en considérant une distribution uniforme du paramètre binomial p et une observation d'une loi binomiale , où m est donc le nombre d’issues positives observées et n le nombre d’échecs observés, la probabilité que p soit entre a et b sachant vaut :

Ses résultats préliminaires, impliquent le résultat que l’on appelle théorème de Bayes (énoncé plus bas) mais il ne semble pas que Bayes se soit concentré ou ait insisté sur ce résultat.

Ce qui est « bayésien » (au sens actuel du mot) dans ce résultat, c’est que Bayes ait présenté cela comme une probabilité sur le paramètre p. Cela revient à dire qu’on peut déterminer, non seulement des probabilités à partir d’observations issues d’une expérience, mais aussi les paramètres relatifs à ces probabilités. C’est le même type de calcul analytique qui permet de déterminer par inférence les deux. En revanche, si l’on s'en tient à une interprétation fréquentiste (en), on est censé ne pas considérer de probabilité de distribution du paramètre p et en conséquence, on ne peut raisonner sur p qu’avec un raisonnement d’inférence (logique) non-probabiliste.

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