Structure algébrique

En mathématiques, plus précisément en algèbre générale et en algèbre universelle, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.

En algèbre générale, les structures algébriques sont définies une à une et leurs propriétés sont étudiées séparément.

En algèbre universelle, les structures algébriques sont étudiées de façon globale de façon à obtenir un modèle unifié, d'où l'adjectif « universel ». Par exemple, qu'y a-t-il en commun entre la théorie des groupes, la théorie des anneaux et la théorie des corps?

L'objectif de cet article est de dresser une liste des structures algébriques usuelles et de les classer.

Structures algébriques pures

Ces structures ne comportent que des lois de composition.

Structures de base

Elles ne comportent que des lois de composition internes. On peut notamment citer les structures de groupe, d’anneau et de corps commutatif.

Structures à une loi interne

Ce sont les structures algébriques les plus simples.

  • Magma : un ensemble muni d'une loi interne. Les magmas sont parfois appelés groupoïdes, mais ce terme de groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.
  • Quasigroupe : un magma tel que Chaque élément du magma apparaît une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne de la table de sa loi.
(Ainsi, la table de la loi d'un quasigroupe fini est un carré latin).

Annélides

Ces structures comportent deux lois de composition internes. Il est d’usage courant de qualifier d’additive la première loi et de multiplicative la seconde. Autrement dit, la première loi est nommée addition (souvent notée ⊕ pour la distinguer de l’addition usuelle) et la seconde est nommée multiplication ou produit (souvent notée ⊗). La seconde loi est distributive bilatéralement (c’est-à-dire à gauche et à droite) par rapport à la première loi.

  • Anneau non associatif (en) : un ensemble muni d’une structure de groupe abélien pour l’addition (qui est donc associative et commutative), la multiplication ne vérifiant à priori que la distributivité sur l’addition[1].
  • Pseudo-anneau : un anneau non associatif dont la multiplication est en outre associative (structure de demi-groupe sur la multiplication).
  • Demi-anneau : un ensemble muni de deux structures de monoïde et où la multiplication est distributive par rapport à l’addition et où l’élément neutre de l’addition est absorbant pour la multiplication[2]. Un demi-anneau est aussi appelé « semi-anneau ».
  • Dioïde : un demi-anneau dans lequel le préordre défini par l’addition est une relation d'ordre.
  • Anneau (unitaire) : un pseudo-anneau dont la loi multiplicative est en outre unifère (c’est donc un monoïde pour la multiplication). C’est encore un demi-anneau où l’addition crée une structure de groupe abélien. Certains auteurs appellent « anneau » ce que l’on a appelé « pseudo-anneau » ci-dessus et appellent « anneau unitaire » ce que l’on a appelé « anneau » ici.
  • Anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est en outre commutative.
  • Anneau intègre : un anneau commutatif non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l’anneau est régulier pour la multiplication.
  • Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l’est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :
    • « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif,
    • « corps gauche » pour un corps « en principe » non commutatif,
    • « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif.

Structures à opérateurs externes

Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique.

Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.

Géométriquement, c’est un ensemble E sur lequel agit un ensemble-opérateur S, encore appelé ensemble des opérateurs ou scalaires. Pour cela, l'ensemble E est muni d’une action, c’est-à-dire d’une application de S dans EE (ensemble des transformations de E, c'est-à-dire des applications de E dans E).

La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.

Espaces homogènes

Ces structures ne comportent qu'une seule loi, qui est externe, un exemple est :

Moduloïdes

Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.

  • Groupe à opérateurs (dans un ensemble) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe
  • Module sur un anneau, on distingue les modules à gauche et à droite sur un anneau non commutatif.
  • Espace vectoriel (sur un corps) : module sur un corps K, on doit distinguer également les espaces vectoriels à gauche et à droite si le corps n'est pas commutatif.
  • Espace affine (sur un corps) : espace homogène d'un espace vectoriel sur un corps K.

Algèbres

Structures possédant deux lois internes et une loi externe.

  • Algèbre (sur un anneau commutatif) : un module (ou un espace vectoriel) muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.
  • Algèbre associative : une algèbre (sur un anneau commutatif) dont la multiplication est associative.
  • Algèbre sur un corps : une algèbre sur un anneau commutatif qui, lui, est un corps.
  • Algèbre associative sur un corps : à la fois une algèbre associative et une algèbre sur un corps.
  • Algèbre unitaire : une algèbre ayant un élément neutre pour la multiplication.
  • Algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.
  • Algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non associative, importante dans l'étude des groupes de Lie.
  • Algèbre de Jordan : un type particulier d’algèbre généralement non associative.

Bialgèbres

Structures possédant deux lois internes, une loi externe, et une loi "duale" de l'une des deux lois internes.

Dans d'autres langues