Spline

Icône de paronymie Cet article possède un paronyme ; voir : Spleen.
Exemple de spline.

Dans le domaine mathématique de l' analyse numérique, une spline — mot anglais se prononçant « splaïne » ( /splaɪn/), mais souvent prononcé à la française /splin/ — est une fonction définie par morceaux par des polynômes. Le terme français correspondant est cerce, mais l'usage a consacré le terme anglais (voir plus loin Étymologie).

Dans les problèmes d' interpolation, la méthode des splines est souvent préférée à l' interpolation polynomiale, car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout en évitant le phénomène de Runge.

Dans le domaine du design, en construction automobile par exemple, les splines sont utilisées pour représenter numériquement des contours complexes. Elles sont très utilisées pour leur mise en œuvre simple et elles sont fréquemment employées dans les logiciels de dessin.

Définition

Une courbe spline est une fonction polynomiale par morceaux définie sur un intervalle [a,b] divisé en sous intervalles tels que :

 :

on la note donc .

Sur chaque intervalle on définit un polynôme

,

Cela nous donne, pour une spline à k intervalles :

Degré

Le degré de la spline est défini comme celui du polynôme Pi de plus haut degré. Si tous les polynômes ont le même degré, on dit que la spline est uniforme.

Continuité

Sachant que la dérivabilité d'un polynôme est infinie, la dérivabilité d'une spline dépend de la continuité au niveau de la jointure des courbes polynômes.
Si pour tout i et pour tout j tel que l'égalité suivante est vérifiée :

.

Alors la spline est de continuité n, notée

La continuité définit les caractéristiques de la jonction entre chaque intervalle. Cela correspond au degré de correspondance entre deux polynômes successifs aux points de jonction.

est la continuité minimum : les polynômes successifs passent bien par les points de jonction.

indique une continuité des tangentes : les polynômes successifs ont en plus des dérivées premières égales aux points jonction.

indique une continuité de la courbure : les polynômes successifs ont en plus des dérivées secondes égales aux points jonction.

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