Relation d'équivalence

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La notion ensembliste de relation d'équivalence est omniprésente en mathématiques. Elle permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété.

On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient.

Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « … a le même ISBN que … » est une relation d'équivalence.

Définition

Définition formelle

Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Plus explicitement :

  • ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y.
  • ~ est réflexive : pour tout élément x de E, on a x ~ x.
  • ~ est symétrique : chaque fois que deux éléments x et y de E vérifient x ~ y, ils vérifient aussi y ~ x
  • ~ est transitive : chaque fois que trois éléments x, y et z de E vérifient x ~ y et y ~ z, ils vérifient aussi x ~ z.

Par réflexivité, E coïncide alors avec l'ensemble de définition de ~ (qui se déduit du graphe par projection). Inversement, pour qu'une relation binaire sur E symétrique et transitive soit réflexive, il suffit que son ensemble de définition soit E tout entier[1].

Définition équivalente

On peut aussi définir une relation d'équivalence comme une relation binaire réflexive et circulaire[2].

Une relation binaire ~ est dite circulaire si chaque fois qu'on a x ~ y et y ~ z, on a aussi z ~ x.

Dans d'autres langues
العربية: علاقة تكافؤ
Esperanto: Ekvivalentrilato
íslenska: Jafngildisvensl
日本語: 同値関係
한국어: 동치관계
srpskohrvatski / српскохрватски: Ekvivalencija
Simple English: Equivalence relation
slovenščina: Ekvivalenčna relacija
中文: 等价关系
文言: 等價
粵語: 等價關係