Racine d'un polynôme

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Racine.

En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X2X sont 0 et 1.

Un polynôme non nul à coefficients dans un certain corps peut n'avoir de racines que dans un corps « plus gros », et n'en a jamais plus que son degré. Par exemple X2 – 2, qui est de degré 2 et à coefficients rationnels, n'a aucune racine rationnelle mais a deux racines dans (donc aussi dans ). Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines complexes (non nécessairement distinctes).

La notion de « racine » se généralise, sous le nom de « zéro », à un polynôme en plusieurs indéterminées[1].

Définitions

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps ou plus généralement un anneau commutatif A (les coefficients pouvant donc appartenir à un sous-anneau).

Définition

Définition de racine[1],[2] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que, si l'on substitue à l'indéterminée X la valeur α, on obtient une expression nulle dans A.

Ainsi, le polynôme X2 – 2, à coefficients dans ℚ (donc aussi dans ℝ ou ℂ), ne possède aucune racine dans ℚ mais en possède deux dans ℝ (2 et –2) donc aussi dans ℂ. En effet, si l'on substitue 2 ou –2 à X dans le polynôme, on trouve bien 0.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie « racine », il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du e siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré[3].

Définition alternative

Définition équivalente[1] — Une racine dans A du polynôme P est un élément α de A tel que P(X) soit divisible par X – α (dans A[X]).

En effet, si P(X) = (X – α)Q(X) alors P(α) = 0 et réciproquement, si P(α) = 0 alors P(X) est égal à P(X) – P(α), combinaison linéaire de polynômes de la forme Xk – αk, tous divisibles par X – α.

Dans l'exemple choisi, l'égalité :

est une autre manière de remarquer que 2 et –2 sont bien les deux racines du polynôme.

Définitions connexes

Le simple fait que le polynôme X – α soit unitaire permet — sans supposer A intègre — de définir les notions suivantes :

Ordre de multiplicité, racine simple, racine multiple[1] — Si P est non nul alors, pour tout élément α de A :

  • le plus grand entier m tel que P(X) soit divisible par (X – α)m est appelé l'ordre, ou la multiplicité, de α relativement à P ;
  • cet entier m est caractérisé par l'existence d'un polynôme Q tel que P(X) = (X – α)mQ(X) et Q(α) ≠ 0 ;
  • on dit que α est racine simple de P si m = 1, et racine multiple si m > 1.

Le polynôme X2 – 2 est séparable, c'est-à-dire qu'il n'a aucune racine multiple. Il est de plus scindé sur ℝ, au sens suivant :

Polynôme scindé — Si P est produit de polynômes du premier degré à coefficients dans un corps commutatif L, on dit que le polynôme P est scindé sur L.

P est alors non nul, et son coefficient dominant est le produit des coefficients dominants de ces polynômes du premier degré. Plus généralement, on dit qu'un polynôme non nul de L[X] est scindé sur L s'il est le produit d'une constante et d'un produit (éventuellement vide) de polynômes unitaires du premier degré. Une telle décomposition est alors unique : chaque terme constant de l'un de ces polynômes unitaires du premier degré est égal à l'opposé d'une racine de P dans L, et si cette racine est d'ordre m, ce facteur est répété m fois. Le nombre de ces facteurs est donc égal au degré de P.

Dans d'autres langues
日本語: 多項式の根
Simple English: Polynomial root