Résistance des matériaux

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Essai de compression sur une éprouvette de béton, une pression croissante est appliquée verticalement sur l'échantillon pendant que deux appareils mesurent les déformations longitudinales et transversales de l'éprouvette
À l'issue du test, l'éprouvette s'est rompue. Notez la cassure longitudinale

La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).

La RDM permet de ramener l'étude du comportement global d'une structure (relation entre sollicitations — forces ou moments — et déplacements) à celle du comportement local des matériaux la composant (relation entre contraintes et déformations). L'objectif est de concevoir la structure suivant des critères de résistance, de déformation admissible et de coût financier acceptable.

Lorsque l'intensité de la contrainte augmente, il y a d'abord déformation élastique (le matériau se déforme proportionnellement à l'effort appliqué et reprend sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît), suivie parfois (en fonction de la ductilité du matériau) d'une déformation plastique (le matériau ne reprend pas sa forme initiale lorsque la sollicitation disparaît, il subsiste une déformation résiduelle), et enfin rupture (la sollicitation dépasse la résistance intrinsèque du matériau).

Histoire

Discours concernant deux sciences nouvelles, de Galilée
Discours concernant deux sciences nouvelles
image illustrative de l’article Résistance des matériaux
Frontispice de la première édition

Auteur Galileo Galilei
Genre Traité scientifique
Version originale
Langue italien
Titre Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali
Date de parution 1638

En 1638, Galilée publie Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali (Discours concernant deux sciences nouvelles). Dans ce discours, Galilée étudie et est le premier à théoriser la résistance des matériaux et le mouvement des corps. Il s'intéresse à la résistance d'une poutre en console soumise à l'action d'un poids situé à son extrémité. Il montre que le fonctionnement de la poutre-console pouvait être assimilée à un levier coudé s'appuyant au droit de l'encastrement. L'action de la partie du levier comprise entre la section d'encastrement et la charge est équilibrée par la partie du levier correspondant à la section d'encastrement. Cette approche va permettre de changer la manière d'aborder les problèmes de résistance des structures. Cependant Galilée commet une erreur car il admet que la contrainte de traction dans toute la hauteur de la section d'encastrement est uniforme[1].

En 1678, Robert Hooke énonce la loi qui porte son nom (loi de Hooke) qui indique que la déformation d'un corps sous une contrainte inférieure à la limite d'élasticité est proportionnelle à l'effort exercé.

Edme Mariotte reprend les études de flexion des poutres. Il montre que la résistance estimée à partir de la théorie de Galilée pour une poutre en console était exagérée. Il montre dans ses essais que la fibre inférieure de la poutre en console est comprimée, que la fibre supérieure est tendue et que la valeur de la résistance en compression et en traction sont identiques. Cette étude de la flexion des poutres est publiée en 1686 après la mort de Mariotte par Philippe de La Hire.

Jacques Bernoulli étudia la déformation de l'elastica, ligne élastique qui se déforme en flexion sans contraction ni extension, et montra que le moment de flexion est proportionnel à la courbure correspondante de la tige. Vers 1750, Leonhard Euler émit la première théorie des poutres. Daniel Bernoulli écrivit l'équation différentielle pour l'analyse vibratoire. L'étude de l'elastica l'a conduit à la théorie de la stabilité élastique.

Charles-Augustin Coulomb, appliquant la loi de Hooke pour une section finie de poutre, proposa une théorie de la flexion.

Thomas Young a reconnu que le cisaillement était une déformation élastique et remarqua que la résistance élastique au cisaillement était différente de la résistance élastique à la traction-compression pour une même substance. Il introduisit le concept de module d'élasticité d'une substance, devenu le module de Young.

Le 14 mai 1821, Henri Navier présenta le Mémoire sur les lois de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques[2] à l'Académie des sciences dans lequel il recherchait les équations d'équilibre des solides élastiques en utilisant une « théorie de mécanique moléculaire ». En supposant le milieu isotrope, il aboutissait à des équations d'équilibre pour des solides élastiques. Il ne faisait intervenir qu'une seule constante semblable au module de Young. Navier était professeur suppléant de mécanique appliquée à l'école des ponts et chaussées en 1819 et est devenu professeur titulaire en 1831. Siméon Denis Poisson s'est opposé à la théorie de Navier entre 1828 et 1829.

En 1822, Augustin Louis Cauchy, dans une communication à l'Académie des sciences, introduisit le concept de contrainte et explicitait la notion de déformation décrite par ses six composantes ou par les axes principaux des déformations et les extensions principales qui leur correspondaient. Cauchy écrivit les équations d'équilibre en contraintes et souhaitait aboutir aux déplacements correspondant à cet état d'équilibre d'un solide supposé élastique. Il supposa que les matériaux étaient isotropes et ayant une relation contrainte-déformation, que les directions principales des contraintes et des déformations coïncidaient. Il introduisit deux constantes matérielles pour écrire les équations d'équilibre d'un corps élastique exprimées en déplacements.

C'est George Green qui introduisit une approche énergétique pour écrire les équations d'équilibre.

Adhémar Barré de Saint-Venant présenta à l'Académie des sciences plusieurs mémoires sur la résistance, la flexion et la torsion des corps solides.

La théorie mathématique de l'élasticité des corps solides a été développée par Siméon Denis Poisson (1812), Augustin Louis Cauchy (1823), Gabriel Lamé (1833-1852).

Le premier cours de Résistance des Matériaux est donné par August Wöhler à l'université de Göttingen en 1842.[réf. nécessaire] À la suite d'expériences, Wöhler montre l'influence des charges répétées et alternées sur la résistance des matériaux.

Karl Culmann va développer le principe du calcul des systèmes réticulaires dans l'hypothèse des nœuds articulés en 1852 pour aboutir à la statique graphique. Maurice Lévy développe cette méthode de calculs.

Émile Clapeyron, à partir de la théorie de l'élasticité établit les équations de Clapeyron pour le calcul des poutres continues en 1857 et écrit en 1858 son mémoire sur le travail des forces élastiques.

En 1864, James Clerk Maxwell énonce le principe de réciprocité des déplacements des points d'application des forces extérieures, cas particulier du théorème de réciprocité de Maxwell-Betti.

Emil Winkler développe la méthode de calcul des lignes d'influence et le calcul des efforts secondaires dans les systèmes réticulaires (1860-1867).

Menabrea établit le principe du travail élastique minimum, en 1868.

Christian Otto Mohr établit le calcul des systèmes articulés à barres surabondantes par application du travail virtuel (1874).

Castigliano démontre le théorème des dérivées du travail (1875).

La théorie de l'arc élastique est développée à partir de la théorie de Culmann et des équations de Bresse.

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