Quaternion

Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom ( Dublin).
« Ici, le 16 octobre 1843, alors qu'il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternions
i2 = j2 = k2 = ijk = –1
et la grava sur une pierre du pont. »

En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative.

Les quaternions sont ainsi le premier exemple de nombres hypercomplexes. D'après le théorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l' associativité de la multiplication.

Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.

Mathématiquement, l'ensemble des quaternions est une algèbre associative unifère sur le corps des nombres réels engendrée par trois éléments , et satisfaisant les relations quaternioniques :

C'est une algèbre à division : tout quaternion non nul admet un inverse. La multiplication des quaternions n'étant pas commutative, est le premier exemple de corps gauche.

Dans une publication sur les octonions, le mathématicien John Baez rappelle une perte progressive de propriétés : les réels sont complets et ordonnés, les complexes ne sont pas ordonnés, mais se comportent "algébriquement bien", les quaternions ne sont plus commutatifs, et les octonions ne sont plus même associatifs [1].

Histoire

Les quaternions furent « découverts » par Hamilton en 1843. D'importants précurseurs de ses travaux sont l' identité des quatre carrés d' Euler (1748) et la formule d'Euler-Rodrigues  (en) (1840). Gauss « découvrit » également les quaternions en 1819, mais ses travaux ne furent publiés qu'en 1900.

Hamilton savait que les nombres complexes pouvaient être représentés dans le plan à deux dimensions, et il chercha longtemps une opération dans l'espace à trois dimensions qui généraliserait la multiplication complexe. Frobenius montrera en 1877 que cette recherche était vaine, il fallait introduire une dimension supplémentaire. D'après les dires de Hamilton, l'étincelle se produisit le 16 octobre 1843, alors qu'il marchait le long du Royal Canal à Dublin en compagnie de son épouse. La solution lui vint à l'esprit sous la forme des relations : . Il grava cette formule dans une pierre du pont de Brougham. Cette inscription, aujourd'hui malheureusement effacée par le temps, est remplacée par une plaque à la mémoire de Sir William Rowan Hamilton. Hamilton donna leur nom aux quaternions et consacra le restant de sa vie à les étudier et à les diffuser.

Dans le sillage de Hamilton, d'autres « nombres » comme les octonions furent découverts, qualifiés de nombres hypercomplexes. Les quaternions et autres hypercomplexes furent toutefois délaissés au profit de l'analyse vectorielle à la fin du XIXe siècle.

Les quaternions ont connu un regain d'intérêt depuis la fin du XXe siècle, notamment dans certaines sciences de l'ingénieur en raison de la représentation qu'ils offrent des rotations spatiales, qui évite de s'encombrer de matrices.

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