Plan affine

En géométrie le concept de plan affine a été inventé pour pouvoir parler de droites parallèles sans s'encombrer de notions métriques telles que la distance entre deux points ou l'angle entre deux droites. L'approche axiomatique ne présuppose pas la notion d' espace vectoriel, de plan vectoriel en l'occurrence, ni celle de corps commutatif. Cependant ces deux dernières notions sont sous-jacentes (voir plan affine de Desargues).

Axiomes du plan affine

Un plan affine vérifie les axiomes

  1. Il existe au moins 2 points.
  2. Chaque droite possède au moins 3 points.
  3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
  4. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
  5. Étant donnée une droite g et un point P non incident à g, il existe une et une seule droite h qui soit incidente à P et qui n'ait pas de point commun avec g. Vocabulaire: les droites g et h sont dans ce cas dites strictement parallèles. Une droite est simplement parallèle avec elle-même, elle n'est pas strictement parallèle avec elle-même. Si deux droites sont simplement parallèles on dit qu'elles ont la même direction.
  6. Axiome de Pappus affine : Si les points A, E, C sont alignés, si les points B, D, F sont alignés sur une autre droite, si (AB)//(DE) et si (BC)//(EF) alors (FA)//(CD).
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English: Affine plane