Petit théorème de Fermat

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En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.

Il s'énonce comme suit : « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a p–1 – 1 est un multiple de p », autrement dit (sous les mêmes conditions sur a et p), a p–1 est congru à 1 modulo p :

.

Un énoncé équivalent est : « si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors p – a est un multiple de p » :

.

Il doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce la première fois en 1640.

Il dispose de nombreuses applications, à la fois en arithmétique modulaire et en cryptographie.

Pierre de Fermat propose le théorème sans apporter de démonstration.
Leonhard Euler présente en 1736 la première démonstration publiée du théorème.

Histoire

La première apparition connue de l'énoncé de ce théorème provient d'une lettre de Fermat à Frénicle de Bessy datée d'octobre 1640[1], qui a été publiée par son fils Samuel en 1679 dans les Varia Opera[2]. On peut y lire ceci : « Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances – 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné – 1 ; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question. »[3], soit en termes modernes, pour tout nombre premier p et tout nombre a (premier avec p), il existe un entier t tel que p divise at – 1, et, t étant le plus petit entier vérifiant ceci, t divise p – 1 et tous les multiples n de t vérifient que p divise an – 1.

On en déduit immédiatement l'énoncé donné en introduction, et réciproquement on déduit facilement de celui-ci l'énoncé plus précis que donne Fermat. Comme habituellement dans sa correspondance Fermat ne donne aucune démonstration de ce résultat, ni même, comme il le fait parfois, d'indications à propos de celle-ci, mais précise : « Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long[3]. »

À cette époque, il est d'usage de ne pas publier les preuves des théorèmes. Ainsi Leibniz rédige une démonstration[4] vers 1683 mais ne la publie pas. En 1741[5], 1750[6] et 1761[7], Euler en publie deux qui procèdent par récurrence et utilisent le développement du binôme, et une qui étudie la répartition des restes modulo le nombre premier considéré. On trouve cette dernière en 1801 dans les Disquisitiones arithmeticae[8] de Gauss. Il y résume également la première démonstration d'Euler[9], et en donne une version plus rapide utilisant le développement du multinôme[10].

Gauss mentionne en 1801 que « Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement théorème de Fermat, du nom de l'inventeur »[9]. On trouve la dénomination petit théorème de Fermat (kleine Fermatsche Satz) dans un ouvrage de Kurt Hensel de 1913[11].

Un jeune étudiant américain[12], cité entre autres par Dickson[13], avait avancé que le théorème était déjà connu en Chine 2 000 ans avant Fermat, dans le cas particulier a = 2, accompagné d'une réciproque — trivialement fausse[14]. Cette «  hypothèse chinoise (en) » n'est qu'une légende urbaine, due à une erreur de traduction qui s'est amplifiée et déformée au fil des citations[15],[16].

Dans d'autres langues
Bahasa Indonesia: Teorema kecil Fermat
srpskohrvatski / српскохрватски: Mala Fermaova teorema
Simple English: Fermat's little theorem
slovenščina: Fermatov mali izrek
Tiếng Việt: Định lý nhỏ Fermat