Paradoxe de Curry

Si cette légende est vraie, alors il s'agit là d'un monstre.

Le paradoxe de Curry fut présenté par le mathématicien Haskell Curry en 1942 et permet d'arriver à n'importe quelle conclusion à partir d'une phrase auto-référentielle et de quelques règles logiques simples. Une telle phrase s'énonce :

Si cette phrase est vraie, alors le monstre du Memphrémagog existe.


C'est une traduction, en logique minimale, du paradoxe de Russell ( théorie des ensembles), ou de la phrase de Gödel ( théorie de la preuve). [réf. nécessaire]

Il est aussi nommé le paradoxe de Löb puisque la preuve se déroule de manière semblable à celle du théorème de Löb publié en 1955 par le mathématicien Martin Löb  (de).

Une preuve

On peut déduire l'existence d'un certain monstre légendaire comme suit : on peut se demander de façon spéculative, si la phrase était vraie, alors là, le monstre existerait-il ? Si on acceptait que la phrase soit vraie, on devrait accepter ce qu'elle dit. Or, elle dit que si elle est vraie, le monstre existe. Il semble que la réponse à notre question spéculative doit être oui : si la phrase est vraie, alors le monstre existe. Mais voilà ce qu'affirmait la phrase - non que le monstre existe, mais qu'il existe si la phrase est vraie. Alors semble-t-il qu'il faut avouer que la phrase est vraie. Et bien sûr, puisque la phrase est vraie, il existe. Donc il y a vraiment un monstre au fond du lac Memphrémagog.

Puisqu'il est évident que n'importe quelle monstruosité pourrait se prouver de façon pareille, il s'agit d'un paradoxe.

Cela peut s'exprimer de façon tout à fait formelle. Désignons par Y l'existence du monstre, et par X la phrase qui affirme Y à condition que X. C'est-à-dire, la définition de X est XY. Le symbole « → » est le connecteur d' implication logique.

1. XX [Identité]
On doit affirmer «si la phrase est vraie, alors la phrase est vraie», peu importe quelle phrase. La règle d'identité semble incontournable.
2. X → (XY) [Substitution de 1]
On remplace le deuxième «la phrase est vraie» par «si la phrase est vraie, alors le monstre existe». Affirmer qu'une phrase est vraie, c'est affirmer ce que dit cette phrase.
3. XY [Contraction de 2]
On laisse tomber un antécédent répété. On peut passer de «si la phrase est vraie, alors si la phrase est vraie, alors le monstre existe» à «si la phrase est vraie, alors le monstre existe» sans rien changer.
4. X [Substitution de 3]
On remplace «si la phrase est vraie, alors le monstre existe» par «la phrase est vraie». Affirmer ce que dit une phrase, c'est affirmer que cette phrase est vraie.
5. Y [application de modus ponens à 3 et 4]
On ne peut guère s'opposer à cette étape non plus. On affirme que «si la phrase est vraie, alors le monstre existe». Or, on affirme que «la phrase est vraie». Donc on doit affirmer que «le monstre existe».
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