Nombre réel

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Réel.
Nombre rationnel Zéro 1 (nombre) Fraction (mathématiques) Nombre constructible Racine carrée de deux Nombre d'or Nombre algébrique Racine cubique Trisection de l'angle Nombre plastique Nombre réel Nombre transcendant Pi E (nombre) Constante de Gelfond-Schneider Théorème de Lindemann-Weierstrass Omega de Chaitin Nombre irrationnel
Représentation des nombres irrationnels selon la répartition des réels en nombres rationnels, constructibles, algébriques et Image source) vd

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang [note 1], mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d' entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide [1] au IVe siècle IVe siècle av. J.-C. Elle s'insère aussi dans l' approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du XIXe siècle, à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part.

L'ensemble des nombres réels, noté [2] ℝ, est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l' analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l' analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.

L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle [H 1], mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle [3] Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époque [H 2].

Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes réelles.

Dans la vie courante

Les nombres réels sont utilisés pour représenter n'importe quelle mesure physique telle que : le prix d'un produit, la durée entre deux événements, l'altitude (positive ou négative) d'un site géographique, la masse d'un atome ou la distance de la galaxie la plus proche. Ces mesures dépendent du choix d'une unité de mesure, et le résultat s'exprime comme le produit d'un nombre réel par une unité. Les nombres réels sont utilisés tous les jours, par exemple en économie, en informatique, en mathématique, en physique ou en ingénierie.

Le plus souvent, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés :

Bien que tous ces sous-ensembles des réels soient de cardinal infini, ils sont tous dénombrables et ne représentent donc qu'une infime partie de l'ensemble des réels. Ils ont chacun des propriétés propres. Deux sont particulièrement étudiés par les mathématiciens : les nombres rationnels et les nombres algébriques ; on appelle «  irrationnels » les réels qui ne sont pas rationnels et «  transcendants » ceux qui ne sont pas algébriques.

En science

La physique utilise les nombres réels dans l'expression des mesures pour deux raisons essentielles :

  • Les résultats d'un calcul de physique utilisent fréquemment des nombres qui ne sont pas rationnels, sans que les physiciens ne prennent en compte la nature de ces valeurs dans leurs raisonnements car elle n'a pas de sens physique.
  • La science utilise des concepts comme la vitesse instantanée ou l'accélération. Ces concepts sont issus de théories mathématiques pour lesquelles l'ensemble des réels est une nécessité théorique. De plus, ces concepts disposent de propriétés fortes et indispensables si l'ensemble des mesures est l'espace des nombres réels.

En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. La représentation numérique du résultat d'un calcul peut être approchée aussi précisément qu'il le souhaite par un nombre décimal. Dans l'état actuel de la physique, il est même théoriquement impossible [réf. nécessaire] de réaliser des mesures de précision infinie. C'est pourquoi, aussi bien pour des besoins expérimentaux que théoriques, si le physicien calcule les mesures dans , il exprime les résultats numériques sous forme de nombres décimaux.

Ainsi le physicien utilise les propriétés des nombres réels qui permettent de donner un sens aux mesures qu'il réalise et offrent des théorèmes puissants pour démontrer ses théories. Pour les valeurs numériques, il se contente des nombres décimaux. Quand il mesure la distance que parcourt un point matériel sur un cercle complet, il utilise la valeur sans se poser de question sur son existence, mais un nombre de décimales souvent petit lui suffit pour les calculs.

Enfin, bien que les nombres réels puissent représenter n'importe quelle grandeur physique, les nombres réels ne sont pas les mieux adaptés pour l'étude de très nombreux problèmes physiques. Des sur-ensembles construits autour des réels ont été créés pour pouvoir manipuler certains espaces physiques. Par exemple :

  • l'espace , pour modéliser des espaces, par exemple de dimension 2, 3 ( ou plus) ;
  • l'ensemble des nombres complexes dont la structure possède des propriétés plus fortes que celle de l'ensemble des nombres réels.

Autres remarques sur la notion de « développement décimal infini »

Tout nombre réel peut être représenté sous la forme de « nombre à développement décimal infini ». Cette définition peut sembler plus simple que d'autres utilisées couramment par les mathématiciens, par exemple la limite d'une suite convergente. Pourtant, elle apparaît rapidement comme peu adaptée et implique des définitions et des démonstrations bien plus complexes. En effet les nombres réels sont intéressants pour la structure et les propriétés de l'ensemble qu'ils forment : addition, multiplication, relation d'ordre, et les propriétés qui lient ces notions. Ces propriétés sont mal reflétées par la définition « développement décimal infini » et des problèmes théoriques apparaissent :

  • Certains nombres possèdent deux représentations.
    Par exemple, le nombre x = 0,9999… (les 9 se poursuivent à l'infini) vérifie l'équation 10x = 9 + x. Le nombre y = 1,0000… (les 0 se poursuivent à l'infini) en est également solution [note 2]. Or l'existence et l'unicité de solution à l'équation 10t = 9 + t, d'inconnue t, sont deux propriétés essentielles pour une définition univoque des réels. Pour remédier à cette situation, il devient nécessaire d'identifier les représentations décimales qui sont solutions d'une même équation : la définition devient plus complexe.
  • Utiliser un développement décimal fait jouer un rôle particulier à la base 10.
    Cette difficulté n'est pas insurmontable. Elle est résolue par l'utilisation d'une base quelconque : on parle alors de développements en base p. Il est alors possible de démontrer que les ensembles construits à partir de ces bases sont isomorphes et que les propriétés des nombres réels sont valables dans toutes ces bases. Cependant les démonstrations deviennent lourdes, et la définition perd de sa simplicité.
  • Enfin, les algorithmes naturels pour effectuer une addition ou une multiplication, trouvent leur limite du fait de la double représentation des nombres décimaux.
    En effet, les « retenues » se calculent de la droite vers la gauche, et un algorithme effectif demande de ne traiter qu'un nombre fini de décimales (puisqu'il ne peut effectuer qu'un nombre fini d'opérations), c'est-à-dire de tronquer les nombres sur lesquels on calcule : il se peut donc qu'en tronquant aussi loin que l'on veut, on n'ait jamais la moindre décimale exacte, par exemple sur le calcul 0,33…+0,66…=1. Surmonter cette difficulté demande de faire appel à des notions de convergence, qui amènent naturellement vers d'autres modes de définition des réels.

Cependant, une fois établie la structure de l'ensemble des nombres réels, la notation par développement décimal permet des calculs effectifs, en gardant à l'esprit que ce n'est pas tant les décimales exactes d'un nombre qui comptent, que la position du nombre vis-à-vis des autres réels.

Dans d'autres langues
Afrikaans: Reële getal
Alemannisch: Reelle Zahl
العربية: عدد حقيقي
azərbaycanca: Həqiqi ədədlər
башҡортса: Ысын һан
беларуская: Рэчаісны лік
беларуская (тарашкевіца)‎: Рэчаісны лік
български: Реално число
bosanski: Realan broj
català: Nombre real
čeština: Reálné číslo
Чӑвашла: Чăн хисеп
dansk: Reelle tal
Deutsch: Reelle Zahl
Zazaki: Amaro reel
emiliàn e rumagnòl: Nómmer reèl
English: Real number
Esperanto: Reelo
español: Número real
eesti: Reaalarv
فارسی: عدد حقیقی
suomi: Reaaliluku
Võro: Reaalarv
føroyskt: Reelt tal
furlan: Numars reâi
Gaeilge: Réaduimhir
贛語: 實數
galego: Número real
hrvatski: Realni broj
Հայերեն: Իրական թվեր
Bahasa Indonesia: Bilangan riil
íslenska: Rauntala
italiano: Numero reale
日本語: 実数
Patois: Riil nomba
la .lojban.: pavycimdyna'u
ភាសាខ្មែរ: ចំនួនពិត
한국어: 실수
Кыргызча: Анык сан
lumbaart: Nümar reaal
latviešu: Reāls skaitlis
македонски: Реален број
Bahasa Melayu: Nombor nyata
Nederlands: Reëel getal
norsk nynorsk: Reelle tal
norsk: Reelt tall
Piemontèis: Nùmer real
português: Número real
română: Număr real
sicilianu: Nùmmuru riali
srpskohrvatski / српскохрватски: Realan broj
Simple English: Real number
slovenčina: Reálne číslo
slovenščina: Realno število
српски / srpski: Реалан број
svenska: Reella tal
Kiswahili: Namba halisi
தமிழ்: மெய்யெண்
Tagalog: Real number
Türkçe: Reel sayılar
українська: Дійсні числа
oʻzbekcha/ўзбекча: Haqiqiy sonlar
Tiếng Việt: Số thực
吴语: 实数
ייִדיש: רעאלע צאל
Yorùbá: Nọ́mbà gidi
中文: 实数
文言: 實數
Bân-lâm-gú: Si̍t-sò͘
粵語: 實數