Nombre réel

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Nombre rationnelZéro1 (nombre)Fraction (mathématiques)Nombre constructibleRacine carrée de deuxNombre d'orNombre algébriqueRacine cubiqueTrisection de l'angleNombre plastiqueNombre réelNombre transcendantPiE (nombre)Constante de Gelfond-SchneiderThéorème de Lindemann-WeierstrassOmega de ChaitinNombre irrationnel
Représentation des nombres irrationnels selon la répartition des réels en nombres rationnels, constructibles, algébriques et Image source)vd

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang[note 1], mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

La notion de nombre réel émerge progressivement de la manipulation des rapports de grandeurs géométriques autres que les rapports d'entiers naturels depuis leur prise en compte par Eudoxe de Cnide[1] au IVe siècle IVe siècle av. J.-C. Elle s'insère aussi dans l'approximation des solutions de problèmes algébriques et donne même lieu, au milieu du XIXe siècle, à la mise en évidence de nombres transcendants. Mais la définition des nombres réels n'est formalisée que quelques décennies plus tard avec les constructions de Dedekind d'une part et de Cantor et Méray d'autre part.

L'ensemble des nombres réels, noté[2] , est alors un corps totalement ordonné, c'est-à-dire qu'il est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d'ordre. Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l'analyse réelle. Enfin, cet ensemble est caractérisé par Hilbert comme plus grand corps archimédien. Dans la droite réelle achevée les valeurs infinies ne satisfont plus les règles opératoires de corps, l'extension au corps des nombres complexes rend impossible la relation d'ordre total compatible, tandis que l'analyse non standard adjoint des nombres infiniment petits qui invalident le caractère archimédien.

L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle[H 1], mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle[3] Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certains traités de théologie ou de philosophie de la même époque[H 2].

Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes réelles.
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