Métrique de Schwarzschild

Un article spécifique concernant le trou noir de Schwartschild existe : Trou noir de Schwarzschild
Karl Schwarzschild (1873-1916).
Article numérisé original de Karl Schwarzchild en allemand.

En astrophysique, dans le cadre de la relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une solution des équations d'Einstein. Elle décrit la géométrie de l'espace-temps lorsqu'elle est déformée par le champ gravitationnel d'une masse sphérique, statique (sans rotation) et non chargée entourée de vide. Cette masse peut être une étoile, une planète ou un trou noir de Schwarzschild.

On ne prend pas en compte ici le rayon de la sphère, ni même sa densité, on considère juste que la masse est concentrée en dessous de r (distance radiale), la métrique est donc valide uniquement à l’extérieur de la sphère.
Cette solution a été découverte par l'astrophysicien allemand Karl Schwarzschild[1] en décembre 1915[2]. C'est la première solution exacte des équations d'Einstein comprenant une masse.

La métrique de Schwarzschild

Représentation de la déformation de l'espace-temps en présence d'une masse centrale. Plus la déformation est forte et plus on s'éloigne du plan euclidien.

La métrique de Schwarzschild permet de décrire la géométrie de l'espace-temps (sa courbure), et donc le champ gravitationnel, en donnant l'expression de l'intervalle d'espace-temps en tout point, dans des coordonnées sphériques centrée sur la sphère massive. Cet intervalle, qui a la dimension d'une longueur, est représentatif de la courbure de l'espace temps en donnant la longueur d'un déplacement infinitésimal à partir d'un point considéré. Cette longueur est égale à celle du théorème de Pythagore quand la courbure est nulle (espace euclidien), et en diffère quand la courbure est non nulle.

Dans ce système de coordonnées sphériques, la métrique de Schwarzschild a la forme :

  • (t, r, θ, φ) sont les coordonnées dites "de Schwarzschild " d'un point P dans l'espace-temps.
    • t est la coordonnée de temps auquel on considère le point (mesuré par une horloge située à une distance infinie de l'objet massif),
    • r est la coordonnée radiale du point (mesurée comme la circonférence, divisée par 2π, de la sphère centrée sur l'objet massif et passant par le point),
    • θ est la colatitude du point (en radians),
    • φ est la longitude du point (en radians)
  • est l'intervalle d'espace-temps d'un déplacement infinitésimal (dt, dr, dθ, dφ) à partir du point P.
  • est le rayon de Schwarzschild de l'objet massif, avec G la constante gravitationnelle, M la masse de l'objet, et c la vitesse de la lumière.

Interprétation physique de la métrique

Métrique statique

L'absence du paramètre t dans l'expression de la métrique signifie que celle-ci ne varie pas avec le temps et est statique. La courbure en un point de l'espace temps reste la même quel que soit t. De même, l'absence de termes mixtes avec le temps (comme par exemple) indique que le champ gravitationnel ne provoque pas de mise en rotation de l'espace temps (comme dans l'effet Lense-Thirring), ce qui est cohérent avec la supposition initiale que l'astre n'est pas en rotation[3].

Conséquence sur la définition de r, qui n'est pas une véritable distance

Si on prend dr = 0 et dt = 0 (r constant et t constant), alors la métrique se réduit à qui n'est autre que la distance sur une sphère de rayon r dans un espace euclidien. Il s'ensuit que r doit être par définition mesuré de telle manière que cette expression soit vraie, et non pas par une mesure de la véritable distance entre le centre de la masse et le point[3]. Pour donner une mesure à la coordonnée de Schwarzschild r en un point, il faut partir de la mesure de la circonférence de la sphère centrée sur l'objet massif, et passant par le point, et diviser par 2π. Dans l'espace-temps déformé de la relativité générale, on ne retombe pas forcément par ce calcul sur la distance radiale R entre le centre et le point, où la circonférence d'un cercle peut être supérieure ou inférieure à 2πR, selon que la courbure est positive ou négative[3].

On pourrait donner une expression de la même métrique utilisant la distance radiale, mais elle serait plus compliquée et moins utilisable. La relativité générale permettant l'utilisation de n'importe-quel référentiel, aucun n'étant physiquement supérieur à un autre, on est libre d'utiliser n'importe quel système de coordonnées pour décrire la métrique, où le critère de choix sera plutôt le caractère utilisable de la métrique. D'ailleurs, d'autres systèmes de coordonnées existent pour décrire cette métrique, comme les coordonnées de Kruskal-Szekeres, décrites plus loin, qui choisit de mélanger même l'espace et le temps dans ses coordonnées..

r et distance radiale

r croit de manière monotone avec la distance radiale l, distance propre au centre de l'objet massif, dans le référentiel de l'objet massif. C'est-à-dire que si l est distance radiale correspondant à r et l′ correspondant à r′ alors . Mais r croit plus lentement que l[TWM 1].

La relation qui relie les deux coordonnées est [TWM 1].

est la masse de l'objet incluse dans une sphère de rayon r (en coordonnées de Schwarzschild). tant que r est inférieur au rayon de l'objet, et , masse de l'objet, si r est supérieur au rayon de l'objet. Pour un trou noir pour tout r > 0.

La fonction est monotone tant que , ce qui est assuré pour un objet statique, ce qui est un des pré-requis pour la métrique de Schwarzschild[TWM 1]. Le facteur n'a pas de singularité à r = 2M, car m(r) décroit beaucoup plus vite que r[TWM 2].

Métrique minkowskienne à l'infini

L'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat. Lorsque , la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski (on retrouve seulement le terme en qui est, comme on l'a vu au paragraphe précédent, la longueur sur une sphère dans un espace plat).

Le temps t

La coordonnée temporelle t est choisie dans cette métrique de manière à être toujours orthogonales avec les dimensions spatiales (on a toujours drdt=0, dθdt=0 et dφdt=0), pour représenter une véritable coordonnée temporelle. Par conséquent, le temps est forcément le temps Minkowskien, défini par une horloge située à l'infini de l'objet massif[TWM 3].

Physiquement, on peut mesurer le temps de Schwarzschild t en n'importe quel point, en procédant de la manière suivante. On place une horloge en chaque point de l'espace-temps, et une horloge "maître" est placée à r=infini. Ces horloges suivent des lignes d'univers telles qu'elles sont immobiles les unes par rapport aux autre (photons reçus d'une horloge distante sans décalage vers le rouge). On règle (en rythme et en décalage) les horloges de proche en proche, par rapport à l'horloge "maître" par une synchronisation d'Einstein[TWM 3].

Cela signifie que le temps de Schwarzschild t a tendance à s'accélérer à mesure qu'on s'approche de (le temps de l'horloge lointaine tourne de plus en plus vite).

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