Icosaèdre

Icosaèdre régulier
Image illustrative de l’article Icosaèdre

TypeSolide platonicien
Faces20 triangles
Arêtes30
Sommets12
Faces/sommet5
Caractéristique2

Symbole de Schläfli{3,5}
Symbole de Wythoff5
Diagramme de Coxeter-DynkinCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
DualDodécaèdre régulier
Groupe de symétrieIh
Volume
Aire
PropriétésConvexe, régulier

En géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension 3, de la famille des polyèdres, contenant exactement vingt faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.

Il existe un icosaèdre régulier convexe. Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont identiques à un même polygone régulier et si, de chaque sommet, partent le même nombre d'arêtes. Il est dit convexe si tout segment dont les extrémités sont à l'intérieur du polyèdre est intégralement à l'intérieur du polyèdre. Il existe 5 polyèdres à la fois réguliers et convexes : les solides de Platon.

Comme il a trois sommets par face, et cinq faces par sommet, le symbole de Schläfli de l'icosaèdre régulier est {3,5}.

Le squelette de l'icosaèdre régulier — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe icosaédrique.

Le groupe des rotations de l'icosaèdre, formé par les rotations de l'espace qui laissent ce polyèdre globalement invariant tout en permutant certaines faces, comporte 60 éléments et est isomorphe au groupe alterné A5.

Un autre solide de Platon a le même groupe de rotations que l'icosaèdre : le dodécaèdre régulier. On l'obtient en considérant le solide dont les sommets sont les centres des faces d'un icosaèdre. Réciproquement, on obtient un icosaèdre en considérant le solide ayant pour sommets les centres des faces d'un dodécaèdre régulier. On dit que les solides de Platon icosaèdre et dodécaèdre sont duaux.

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