Distributivité

En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».

Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué[1] à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16.

Cette propriété est vraie pour tout triplet (x, y, z) d'entiers naturels, d'entiers relatifs, de nombres rationnels, de nombres réels ou de nombres complexes :

x × (y + z) = (x × y) + (x × z)

On parle alors de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition[2].

En algèbre générale, la distributivité est généralisée à d'autres opérations que l'addition et la multiplication. Une loi de composition interne ∘ est distributive par rapport à une autre loi interne ∗ dans un ensemble E si pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, on a les propriétés suivantes[3] :

x ∘ (yz) = (xy) ∗ (xz)   (distributivité à gauche)
(xy) ∘ z = (xz) ∗ (yz)   (distributivité à droite)
Une illustration géométrique de la distributivité
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