Degré (mathématiques)

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De manière générale, un degré indique une quantité définie qui s'ajoute ou qui caractérise de façon discontinue un phénomène :

  • on parle des degrés d'une échelle pour désigner les barreaux ou les marches (on monte d'une quantité donnée à chaque pas) ;
  • on parle du degré d'un séisme pour désigner son intensité.

En relation avec ce concept décrivant le monde physique, les mathématiciens ont baptisé degré certaines caractéristiques d'objets issus de domaines très divers : algèbre, topologie, théorie des graphes, statistique

Degré en algèbre

Degré d'un polynôme

À une indéterminée

Soit un anneau. L'anneau des polynômes à une indéterminée sur est , soit un polynôme à coefficients dans .

Le degré de , noté ou est défini par :

  • Si ,
  • Sinon, pour , on définit :

Par exemple,

En plusieurs indéterminées

Soient un anneau et . L'anneau des polynômes à indéterminées sur est

Le degré du polynôme nul est toujours .

Sinon on considère l'ensemble des « sommes des exposants des indéterminées » dans chaque terme. Le degré du polynôme est alors le plus grand élément de cet ensemble.

Par exemple : dans

Degré d'une fraction rationnelle

Soit un anneau commutatif, unitaire, intègre. Le corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur est . Soit . Il existe et tel que .

La grandeur est indépendante du représentant choisi pour .

On définit alors , noté ou .

Propriétés du degré

  • Si est intègre,
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