Courbure de Gauss

La courbure de Gauss d'une surface paramétrée X en est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.

En mécanique, les surfaces matérielles dont la courbure de Gauss est non nulle sont plus rigides que celles dont la courbure de Gauss est nulle, toutes choses égales par ailleurs. En termes courants, les coques sont plus rigides que les plaques. En effet, une déformation d'une coque implique une modification de sa métrique, ce qui n'est pas le cas (au premier ordre) pour une plaque ou plus généralement pour une surface sans courbure de Gauss.

Classification

On classifie les points d'une surface en fonction de la courbure de Gauss de la surface en ce point[1].

  • Un point où la courbure de Gauss est strictement positive est dit elliptique. Tels sont les points d'un ellipsoïde, d'un hyperboloïde à deux nappes ou d'un paraboloïde elliptique. Les deux courbures principales y sont de même signe. Si, de plus, elles sont égales, le point est un ombilic. Tels sont les points d'une sphère, ou les deux sommets d'un ellipsoïde de révolution.
  • Un point où la courbure de Gauss est nulle est dit parabolique. L'une au moins des courbures principales y est nulle. C'est le cas des points d'un cylindre ou d'un cône, car la courbure le long d'une génératrice du cylindre passant par le point est nulle. C'est également le cas de toute surface développable. Si les deux courbures principales sont nulles, le point est un méplat. Dans le plan, tous les points sont des méplats.
  • Un point où la courbure de Gauss est strictement négative est dit hyperbolique. En un tel point, les deux courbures principales sont de signe contraire. C'est le cas de tous les points d'un hyperboloïde à une nappe ou d'un paraboloïde hyperbolique.
Dans d'autres langues
Bahasa Indonesia: Lengkungan Gauss
日本語: ガウス曲率
한국어: 가우스 곡률
slovenščina: Gaussova ukrivljenost
українська: Кривина Гауса
Tiếng Việt: Độ cong Gauss
中文: 高斯曲率