Corps de rupture

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme.

On démontre qu'avec la définition choisie, si P(X) est un polynôme irréductible, tous les corps de rupture de P(X) sont isomorphes à K[X]/(P(X)), quotient de l'anneau commutatif K[X] des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K par l'idéal engendré par le polynôme P(X), que l'on peut voir aussi comme l'anneau des restes de la division euclidienne de ces polynômes par P(X). Ce quotient fournit une construction d'un corps de rupture de P.

Ce corps peut ne pas contenir l'intégralité des racines de P, c'est-à-dire que P ne se décompose pas forcément en produit de facteurs du premier degré sur K[X]/(P(X)). Mais il est alors possible de réitérer l'opération jusqu'à ce qu'une extension finie contenant toutes les racines de P soit construite. On obtient par ce procédé le corps de décomposition de P, et plus généralement celui d'un polynôme quelconque (non nécessairement irréductible).

Cette terminologie n'est pas toujours utilisée : étudier le corps de rupture de P revient en effet à étudier le quotient K[X]/(P(X)), et cette notation suffit à de nombreux auteurs, sans qu'un nom spécifique soit utilisé. Plus rarement certains utilisent l'expression « corps de rupture » pour désigner une autre notion (voir section autres définitions).

Définition

Soient K un corps, L une extension de K et α un élément de L.

Définition[1] — Un corps de rupture d'un polynôme P irréductible sur K est une extension simple de K par une racine de P.

Par exemple le polynôme X2 + 1 est irréductible sur le corps ℝ des nombres réels. Un corps de rupture de ce polynôme est ℂ, corps des nombres complexes, puisque i, racine de ce polynôme appartient à ℂ, et que tout corps qui contient ℝ et i contient ℂ.

Dans un sur-corps

Pour L sur-corps de K et α ∈ L, l'ensemble des éléments de L qui s'écrivent Q(α), où Q est un polynôme à coefficients dans K, c'est-à-dire des combinaisons linéaires des puissances de α à coefficients dans K, est noté K[α]. C'est aussi, comme on le vérifie facilement, le sous-anneau engendré par K et α. Il est contenu dans tout corps contenant K et α. Quand α est racine de P, polynôme irréductible de K[X] de degré n, on a que :

  • tout élément de K[α], qui peut s'écrire donc Q(α) est représenté par un polynôme de degré au plus n – 1, le reste de la division euclidienne de Q par P, ce de façon unique par unicité du reste.
  • tout élément non nul de K[α] est inversible dans K[α], en effet un tel élément s'écrit Q(α) et, P étant irréductible, l'identité de Bézout dans K[X] assure de l'existence de deux polynômes U et V tels que
U(α)Q(α) + V(α)P(α) = 1,
soit, comme P(α) = 0, U(α) est l'inverse de Q(α).

L'anneau K[α] est alors un corps, et donc K[α] = K(α), est un corps de rupture de P sur K. De plus une base de ce corps, en tant qu'espace vectoriel sur K est (1, α, α2, … , αn–1) (comme toute extension E de K ce corps a une structure d'espace vectoriel sur K pour l'opération d'addition est le produit dans E vu comme produit externe sur K). Le degré de l'extension K(α) de K, noté [K(α):K], qui est la dimension de cet espace vectoriel, est donc [K(α):K] = n, le degré du polynôme.

Calculs dans un corps de rupture

Dans l'étude précédente on s'aperçoit que, quand on représente les éléments du corps de rupture K(α) de P sur K par des polynômes en α de degré strictement inférieur à celui de P, les calculs de la somme, du produit et de l'inverse sont indépendants du choix de α, et ne dépendent que de P.

Construction

Il est possible de construire un corps de rupture de P sans supposer l'existence d'une extension de K, contenant une racine de P : c'est l'anneau des restes obtenus par division euclidienne des polynômes de K[X] par P, noté K[X]/(P). Le polynôme P étant de degré n, c'est l'anneau des polynômes de degré au plus n – 1, muni des opérations (addition, multiplication) définies par les règles de calcul du paragraphe précédent, les neutres restent 0 et 1. On montre qu'il s'agit bien d'un anneau, puis que celui-ci est un corps en utilisant que P est irréductible et l'identité de Bézout (comme au paragraphe précédent). Dans cette construction, le monôme X devient racine de P.

Plus abstraitement K[X]/(P) se définit comme l'anneau quotient de K[X] par l'idéal engendré par P noté (P), qui est premier non nul (P étant irréductible) donc maximal, K[X] étant un anneau principal (car euclidien) ; l'anneau K[X]/(P) est alors un corps. Chaque classe d'équivalence de K[X]/(P) contient un et un seul polynôme de degré au plus n – 1 : on retrouve ainsi la construction précédente et ses règles de calcul.

Le corps ainsi construit est une extension de K (les éléments de K correspondent aux classes des polynômes constants), qui contient une racine de P : la classe d'équivalence de X, soit α = X. On a alors K[X]/(P) = K(α), qui est donc bien un corps de rupture de P.

Les remarques de la section précédente se traduisent formellement de la façon suivante :

  • Soit K un corps, P un polynôme irréductible sur K, et L une extension de K dans laquelle P possède au moins une racine notée β, alors il existe un unique morphisme f de corps (forcément injectif) de K[X]/(P) dans L tel que, si aK, f(a) = a et f(X) = β.

En effet, il existe un seul morphisme d'anneaux de K[X] dans L qui envoie K sur lui-même[2] et X sur β. L'idéal engendré par P(X) est dans le noyau du morphisme, on obtient donc, par le théorème de factorisation, un morphisme d'anneaux f de K[X]/(P) dans L ayant les propriétés souhaitées. Il est injectif car L est un corps. Il est le seul ayant ces propriétés car tout élément de K[X]/(P) est une combinaison linéaire sur K des puissances de X, et donc f est déterminée par ses valeurs sur K et pour X.

Cette propriété assure en particulier que tout corps de rupture de P sur K est isomorphe à K[X]/(P) (avec les notations précédentes, on prend L = K(β) et l'image du morphisme construit précédemment est un sous-corps de L contenant K et β, c'est donc L tout entier).

Exemples

  • On a déjà vu le corps des complexes, qui est le corps de rupture de X2 + 1 (polynôme n'ayant aucune racine dans ℝ) et peut donc se construire comme ℝ[X]/(X2 + 1) (voir nombre complexe).
  • Le polynôme X3 – 2 ne possède pas de racine dans le corps ℚ des nombres rationnels, mais il en possède une dans ℝ : le réel 32. On vérifie que le sous-corps ℚ(32) de ℝ est l'ensemble de tous les réels qui s'écrivent a + b 32 + c 34 avec a, b et c rationnels. Il est de degré 3. Cependant cette extension ne contient pas toutes les racines du polynôme. En effet, il en existe deux ayant une composante complexe et qui ne sont pas éléments de ce corps, à savoir 32 j et 32 j2j et j2 sont les deux racines cubiques de l'unité distinctes de 1. On vérifie que le corps des complexes contient trois corps de rupture de X3 – 2 : ℚ(32) déjà mentionné, ℚ(32 j) (qui est l'ensemble des complexes de la forme a + b 32 j + c 34 j2 avec a, b et c rationnels), et ℚ(32 j2) (définition analogue). Tous sont bien de degré 3, ils sont isomorphes deux à deux et à ℚ[X]/(X3 – 2), mais aucun n'est un corps de décomposition de X3 – 2 (plus petit corps contenant toutes les racines du polynôme). On obtient celui-ci en réitérant la construction d'un corps de rupture.
  • Un corps de rupture d'un polynôme irréductible peut être aussi un corps de décomposition de celui-ci, même si le degré du polynôme est strictement supérieur à 2. C'est le cas pour le corps de rupture sur ℚ du polynôme X4 + X3 + X2 + X + 1, dont les racines sont les 4 racines cinquièmes de l'unité distinctes de 1 : si α est l'une d'entre elles, les 4 racines sont α, α2, α3, α4 (voir aussi polynôme cyclotomique).
  • Tout corps fini peut être construit comme corps de rupture d'un polynôme irréductible sur un corps fini premier ℤ/pℤ (p nombre premier). Un corps de rupture de P (irréductible) sur un corps fini est toujours un corps de décomposition de P.
Dans d'autres langues
English: Rupture field
日本語: 根体