Corps de rupture

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme.

On démontre qu'avec la définition choisie, si P(X) est un polynôme irréductible, tous les corps de rupture de P(X) sont isomorphes à K[X]/(P(X)), quotient de l'anneau commutatif K[X] des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K par l'idéal engendré par le polynôme P(X), que l'on peut voir aussi comme l'anneau des restes de la division euclidienne de ces polynômes par P(X). Ce quotient fournit une construction d'un corps de rupture de P.

Ce corps peut ne pas contenir l'intégralité des racines de P, c'est-à-dire que P ne se décompose pas forcément en produit de facteurs du premier degré sur K[X]/(P(X)). Mais il est alors possible de réitérer l'opération jusqu'à ce qu'une extension finie contenant toutes les racines de P soit construite. On obtient par ce procédé le corps de décomposition de P, et plus généralement celui d'un polynôme quelconque (non nécessairement irréductible).

Cette terminologie n'est pas toujours utilisée : étudier le corps de rupture de P revient en effet à étudier le quotient K[X]/(P(X)), et cette notation suffit à de nombreux auteurs, sans qu'un nom spécifique soit utilisé. Plus rarement certains utilisent l'expression « corps de rupture » pour désigner une autre notion (voir section autres définitions).

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English: Rupture field
日本語: 根体