Cercle

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Le cercle de centre M et de rayon r est l'ensemble des points du plan à distance r de M.

En géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace.

Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.

D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres, cônes, tore, anneau, etc.)[1].

Utilisations

Le cercle est un objet mathématique abstrait, qui peut servir à modéliser de nombreux phénomènes. Un certain nombre d'objets manufacturés ont une section circulaire : cylindres (rouleaux, roues, silos), sphères (ballon, balles, billes), cônes (rouleaux, entonnoirs). Les propriétés du cercles permettent donc de déduire des propriétés des objets, comme leur volume qui permet de déduire la masse de l'objet (connaissant sa masse volumique) ou sa contenance. Les objets de section circulaire sont intéressants pour principalement plusieurs raisons :

  • ces objets roulent, ce qui permet d'avoir des mouvements et déplacements nécessitant peu d'efforts (roues, roulements mécaniques) ;
  • par définition, tous les points sont à égale distance du centre ; cela signifie qu'il faut le même temps et la même énergie pour atteindre chaque point à partir du centre, ce qui a donné la notion d'hémicycle (amphithéâtre) dans lequel le son a le même volume pour tous ceux assis sur le même banc ;
    cela a également de l'importance en terme d'organisation du territoire et de logistique ; en effet, si le déplacement se fait de la même manière dans toutes les directions (terrain idéalement plat et horizontal, sans obstacle, ou bien vol d'oiseau sans vent), alors un cercle représente l'ensemble des points que l'on peut atteindre pour une durée de trajet donnée ou une consommation d'énergie donnée à partir du centre, c'est la notion de rayon d'action, et l'intérêt du problème du cercle minimum ;
    lorsque l'on souffle du verre, le verre s'éloigne du point de soufflage avec une vitesse isotrope, ce qui donne à l'objet une forme naturellement arrondie ;
  • le cercle est la courbe plane qui, pour une longueur donnée (périmètre), a l'aire la plus grande ; ainsi, si l'on construit un silo ou une bouteille cylindrique, on a la contenance la plus importante pour une quantité de matériau donné (pour faire la paroi), si l'on construit une palissade circulaire, on pourra loger plus de personnes pour une quantité de bois ou de pierre donnée ; dans le même ordre d'idées, la défense en cercle est une stratégie militaire permettant de défendre une population ou un stock avec le minimum de moyens, face à une attaque venant de toutes parts, tactique dite justement de l'encerclement ;
  • cette forme ne présente pas d'aspérité, donc pas de concentration de contrainte ; un objet ayant cette forme a une meilleure résistance mécanique ;
  • cette forme ne présente pas de partie plane, ainsi, un projectile a peu de chance de la frapper « de face », il lui transmet moins d'énergie et donc risque moins de l'endommager ; si l'objet tombe, il a plus de chance de rebondir sans casser ; un objet arrondi a aussi moins de risque de blesser en cas de choc avec une personne (ballon, arrondi des capots et pare-chocs de voitures modernes) ;
  • toute droite passant par le centre est un rayon, et donc est perpendiculaire au cercle ; cette propriété est utilisée en optique et a donné les contre-miroirs sphériques, c'est aussi pour cela que les lentilles ont des surfaces sphériques (ont peut facilement prédire le trajet lumineux aux dioptres) ;
  • un objet de section circulaire et à paroi mince peut se fabriquer par enroulement de fil (ressort hélicoïdal, bobine) ou par roulage d'une tôle (virole, tube) ; un objet de section circulaire creux ou massif peut aussi s'obtenir facilement par tournage (poterie, tournage mécanique) ;
  • si l'on met un objet dans un récipient circulaire, on impose sa position mais on n'impose pas son orientation ; si l'orientation n'a pas d'importance, alors cela permet de gagner du temps puisque l'on n'a pas à tourner l'objet avant de le mettre en position ; c'est le principe du centrage (long ou court) pour la mise en position (MiP).

Certains objets répondent à plusieurs de ces éléments. Par exemple, le fait qu'un canon soit cylindrique :

  • permet une fabrication facile, en particulier l'alésage ;
  • donne une résistance mécanique (résistance à la pression de l'explosion) ;
  • facilite l'introduction de la munition (on n'a pas besoin de la tourner autour de son axe pour l'introduire) ;
  • en pratiquant une hélice dans le canon, on peut imprimer un mouvement de rotation lors du tir qui stabilise la trajectoire.

Si un objet a une surface courbe, elle peut être localement approchée par un cercle. Ainsi, si l'on connaît les propriétés du cercle, on connaît les propriétés locales de l'objet. C'est ce qui a donné les notions de cercle osculateur, de rayon de courbure et d'harmonique sphérique.

Si l'on dispose des objets ou des personnes en cercle, on sait que l'on peut les atteindre avec le même effort depuis le centre, mais aussi que l'on peut les voir de la même manière, ce qui peut faciliter la surveillance. On peut aussi les désigner en faisant appel à un seul paramètre, la direction ; c'est par exemple l'intérêt des cadrans à aiguille. Cela donne aussi les notions de coordonnées cylindriques et sphériques.

De par sa définition, le cercle euclidien est très simple à tracer : il suffit d'avoir un objet dont les deux extrémités ont une distance constante, une corde tendue par exemple ou une branche (même tordue), ou de manière plus courante un compas. Il est donc simple de tracer un cercle « parfait », ce qui en fait un outil d'étude privilégié pour la géométrie.

Pour des problèmes et des formes plus complexes, on peut faire appel à la notion d'ellipse.

Le cercle peut servir à représenter de manière symbolique des objets « plus ou moins ronds » :

Du point de vue purement symbolique, il représente :

  • une certaine forme de perfection, de par sa symétrie et son absence d'aspérité, car, selon Ronsard, « rien n'est excellent au monde s'il n'est rond »[2] ; depuis l'Antiquité grecque, la sphéricité est associée à la perfection, et par conséquent à la divinité[3] ; pour Kepler, le cercle représente la sainte Trinité, « Le Père au centre, le Fils à la superficie, le Saint Esprit dans l'égalité de la relation du centre au pourtour. Et bien que le centre, la surface et l'intervalle soient manifestement trois, pourtant ils ne font qu'un, au point qu'on ne peut même pas concevoir qu'il en manque un sans que le tout soit détruit[3],[4] » ;
  • un mouvement continu et infini, la notion de cycle ; il est une des représentations du recommencement (ouroboros), de la continuité, de l'éternité et du temps cyclique (voir la roue du temps du Tantra de kalachakra), avec la variante de la spirale ;
  • une égalité entre les personnes, comme pour la Table ronde du roi Arthur.
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