Caractéristique d'un anneau

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Caractéristique.

En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro.

On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que

si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.

Remarque. La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au e siècle[1]. Bourbaki[2] dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. Lang[3] considère l'idéal de Z formé par les n tels que n.1A = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme aZa est zéro ou un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre a. Il ne la définit pas dans le cas contraire.

L'homomorphisme de Z dans A

Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires de dans A ( est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a :

,

où 1A est répété n fois. Comme est un anneau euclidien, le noyau de est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique entier naturel c tel que le noyau de soit l'idéal .

Dans d'autres langues