Bijection

En mathématiques, une bijection est une application bijective. Une application est bijective si et seulement si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est injective et surjective. Les bijections sont aussi parfois appelées correspondances biunivoques[1].

On peut remarquer que dans cette définition, on n'impose pas de condition aux éléments de l'ensemble de départ, autre que celle qui définit une application : tout élément a une image et une seule.

S'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E : la bijection réciproque de f, qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. On peut alors dire que ces ensembles sont en bijection, ou équipotents.

Cantor a le premier démontré que s'il existe une injection de E vers F et une injection de F vers E (non nécessairement surjectives), alors E et F sont équipotents (c'est le théorème de Cantor-Bernstein).

Si deux ensembles finis sont équipotents alors ils ont le même nombre d'éléments. L'extension de cette équivalence aux ensembles infinis a mené au concept de cardinal d'un ensemble, et à distinguer différentes tailles d'ensembles infinis, qui sont des classes d'équipotence. Ainsi, on peut par exemple montrer que l'ensemble des entiers naturels est de même taille que l'ensemble des rationnels, mais de taille strictement inférieure à l'ensemble des réels. En effet, de dans , il existe des injections mais pas de surjection.

Définitions formelles

Définition fonctionnelle

Une application est bijective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent par , ce qui s'écrit formellement :

ou, ce qui est équivalent, s'il existe une application qui, composée à gauche ou à droite par , donne l'application identité :

et ,

c'est-à-dire :

.

Une telle application est alors déterminée de manière unique par . On l'appelle la bijection réciproque de et on la note . C'est aussi une bijection, et sa réciproque est .

Définition relationnelle

Une bijection de dans est une relation binaire de dans qui est une application et dont la relation réciproque est aussi une application. De façon plus détaillée, doit posséder les quatre propriétés suivantes :

  • Fonctionnalité :
    soit : tout élément a au plus une image par  ;
  • « Applicativité » :
    soit : tout élément de a au moins une image par  ;
  • Injectivité :
    soit : tout élément a au plus un antécédent par  ;
  • Surjectivité :
    soit : tout élément de a au moins un antécédent par .

L'injectivité de équivaut à la fonctionnalité de et la surjectivité de équivaut à l'« applicativité » de .

Il est usuel de représenter une relation binaire fonctionnelle par une fonction en posant : si et seulement si . Si l'on précise que est une application, on suppose que est fonctionnelle et applicative.

La symétrie entre fonctionnalité et injectivité d'une part, et entre « applicativité » et surjectivité d'autre part, donne que si est une relation bijective alors l'est aussi.

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