Algèbre sur un corps

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :

  1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
  2. la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
  3. la loi × est bilinéaire.

Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

  • (x + y) × z = x × z + y × z ;
  • x × (y + z) = x × y + x × z ;
  • (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : AB telle que

x, yA, ∀aK, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.