Hila (matematiikka)

Hilan nimi tulee sitä havainnollistavasta Hasse-diagrammista. Kuvassa on hila neljäalkioisen joukon {1,2,3,4} osituksista, järjestettynä sisältymisrelaation mukaan.

Matematiikassa hila on osittain järjestetty joukko (kutsutaan myös posetiksi englanninkielisen termin "partially ordered set" mukaan), jossa jokaisella kahdella alkiolla on yksikäsitteiset supremum (alkioiden pienin yläraja); ja infimum (suurin alaraja). Hilat voidaan myös määritellä algebrallisina struktuureina, jotka toteuttavat tietyt aksiomaattiset ehdot. Koska nämä kaksi määritelmää ovat yhtäpitävät, niin hilateoriaa voidaan tutkia sekä järjestysteoreettiselta että algebralliselta kannalta.

Hilat osittain järjestettyinä joukkoina

Osittain järjestetty joukko (L, ≤) on hila, jos se toteuttaa kaksi seuraavaa aksioomaa.

Supremumin olemassaolo
, on olemassa (alkioiden a ja b supremum), voidaan merkitä myös: (kutsutaan myös pienimmäksi ylärajaksi).
Infimumin olemassaolo
, on olemassa (alkioiden a ja b infimum), voidaan merkitä myös: (kutsutaan myös suurimmaksi alarajaksi).

Koska ja ovat olemassa kaikille alkioille , niin tällöin and ovat binäärisiä laskutoimituksia.