Monotoonne funktsioon

Disambig gray.svg  See artikkel räägib matemaatilise analüüsi mõistest. Monotoonse funktsiooni üldistuse kohta suvalistele osaliselt järjestatud hulkadele vaata artiklit Isotoonne kujutus.

Matemaatilises analüüsis nimetatakse reaalmuutuja funktsiooni kasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kasvab, ning kahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse rangelt monotoonseteks. [1] Funktsiooni nimetatakse mittekahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kahane, ning mittekasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kasva. Mittekahanevaid ja mittekasvavaid funktsioone nimetatakse monotoonseteks. [1]

Definitsioon

Olgu A ja B teatavad reaalarvude hulgad ja olgu f funktsioon hulgast A hulka B. Funktsiooni f nimetatakse

  • kasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) < f(y),
  • kahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) > f(y),
  • mittekahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≤ f(y),
  • mittekasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≥ f(y).

Kui funktsioon on mittekahanev või mittekasvav, nimetatakse seda monotoonseks. Kui funktsioon on rangelt kasvav või kahanev, nimetatakse seda rangelt monotoonseks. Iga rangelt monotoonne funktsioon on monotoonne, aga mitte vastupidi.

Mõnedes allikates nimetatakse kasvavaks ja kahanevaks vastavalt mittekahanevat ja mittekasvavat funktsiooni. Sel juhul nimetatakse rangelt monotoonset funktsiooni vastavalt rangelt kasvavaks või rangelt kahanevaks funktsiooniks.[ viide?] Tekstides, kus kasutatakse mõisteid "mittekasvav" ja "mittekahanev", eeldatakse, et mõisted "kasvav" ja "kahanev" tähendavad vastavalt ranget kasvamist ja kahanemist. Antud artiklis kasutatakse viimast tähistust.

Tuleb tähele panna, et väited funktsioon f on mittekahanev ning funktsioon f ei ole kahanev ei ole samaväärsed: funktsioon, mis ei ole kahanev, ei pea veel olema mittekahanev (vastupidine järeldus mittekahanevei ole kahanev küll kehtib, kui hulgas A on rohkem kui üks element). Väljendit funktsioon f on mittekahanev tuleks mõista pigem nii: argumendi kasvades funktsiooni f väärtus kunagi ei kahane või nii: funktsioon f ei ole kahanev oma määramispiirkonna üheski vähemalt kaheelemendilises alamhulgas (vt. alajaotust Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas). Samamoodi ei ole väide funktsioon f on mittekasvav samaväärne väitega funktsioon f ei ole kasvav.

Erijuhul, kui A on kõigi naturaalarvude hulk, siis funktsioon f määrab ära jada ning saame eelnevast rangelt kasvava, rangelt kahaneva, mittekahaneva, mittekahaneva, monotoonse ja rangelt monotoonse jada definitsioonid.

Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas

Sageli kõneldakse funktsiooni kasvamisest ja kahanemisest mingis tema määramispiirkonna A alamhulgas X. Seda mõistetakse järgmiselt: funktsiooni f nimetatakse kasvavaks, kahanevaks, mittekahanevaks või mittekasvavaks hulgas X, kui funktsiooni f ahend hulgale X on vastavalt kasvav, kahanev, mittekasvav või mittekahanev.

Üks ja sama funktsioon võib seega olla oma lähtehulga ühes alamhulgas kasvav, teises kahanev.

Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna sisepunkt. Funktsiooni f nimetatakse

  • kasvavaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)<f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)>f(a),
  • kahanevaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)>f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)<f(a) [2].
Teistes keeltes
العربية: دالة رتيبة
azərbaycanca: Artan funksiya
Esperanto: Monotona funkcio
한국어: 단조함수
íslenska: Einhalla fall
Nederlands: Monotone functie
日本語: 単調写像
português: Função monótona
Simple English: Monotonic function
slovenčina: Monotónna funkcia
slovenščina: Monotonost
srpskohrvatski / српскохрватски: Monotonost funkcije
Tiếng Việt: Hàm số đơn điệu
українська: Монотонна функція
中文: 单调函数