Cuerpo finito

En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois)[2]

Clasificación

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima. Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pn, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para todo primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), Fp, o GF(p); en algunos casos se usa Zp, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a este.

Si q = pn es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo con q elementos, en concreto, el cuerpo de descomposición de sobre .[3]​ Dicho cuerpo se denota por Fq, F[pn] o GF(pn) y se puede construir de la siguiente manera:

El polinomio f(X) se puede hallar factorizando Xq-X sobre Fp. El cuerpo Fq contiene una copia de Fp como subcuerpo.

No hay otros cuerpo finitos.

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