Χώρος Χίλμπερτ

Η κατάσταση μιας παλλόμενης χορδής μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα σημείο σε ένα χώρο Hilbert. Η αποσύνθεση ενός δονούμενου κορδονιού σε δονήσεις της σε διακριτά αρμονικούς ήχους δίνεται από την προβολή του σημείου επί των αξόνων συντεταγμένων στο χώρο.

Η μαθηματική έννοια του Χώρου Χίλμπερτ, που πήρε το όνομα του από τον Νταβίντ Χίλμπερτ (David Hilbert), γενικεύει την έννοια του Ευκλείδειου Χώρου. Επεκτείνει τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και του λογισμού από το δισδιάστατο Ευκλείδειο επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο σε χώρους με κάθε πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαστάσεων. Ένας χώρος Hilbert είναι ένας αφηρημένος διανυσματικός χώρος που διαθέτει τη δομή ενός εσωτερικού γινομένου που επιτρέπει το μήκος και η γωνία που πρέπει να μετρηθεί. Επιπλέον, οι χώροι Hilbert είναι πλήρεις: υπάρχουν αρκετά όρια στον χώρο για να επιτρέψουν τις τεχνικές του λογισμού που πρέπει να χρησιμοποιηθούν.

Χώροι Χίλμπερτ προκύπτουν φυσικά και συχνά στα μαθηματικά και τη φυσική, συνήθως ως απειροδιάστατες λειτουργίες χώρων. Οι πρώτοι χώροι Χίλμπερτ μελετήθηκαν από την άποψη αυτή κατά την πρώτη δεκαετία του 20ου αιώνα από τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ , Έρχαρντ Σμιτ και Frigyes Riesz. Είναι απαραίτητα εργαλεία στις θεωρίες των μερικών διαφορικών εξισώσεων, την κβαντομηχανική, την ανάλυση Φουριέ (η οποία περιλαμβάνει εφαρμογές για την επεξεργασία σήματος και τη μεταφορά θερμότητας) και την εργοδική θεωρία, η οποία αποτελεί τη μαθηματική υποστήριξη της θερμοδυναμικής. Ο Τζον φον Νόιμαν επινόησε τον όρο χώρο Χίλμπερτ για την αφηρημένη έννοια που κρύβεται πίσω από πολλές από αυτές τις ποικίλες εφαρμογές. Η επιτυχία των μεθ;oδων του χώρου Hilbert μπαίνει σε μια πολύ γόνιμη εποχή για τη λειτουργική ανάλυση. Εκτός από τους κλασσικούς Ευκλείδειους χώρους, παραδείγματα των χώρων Hilbert περιλαμβάνονται στους χώρους των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, τους χώρους των ακολουθιών, τους χώρους Sobolev που αποτελούνται από γενικευμένες συναρτήσεις, και τους χώρους Hardy των αναλυτικών συναρτήσεων.

Η γεωμετρική διαίσθηση παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές πτυχές της θεωρίας του χώρου Hilbert. Ακριβή ανάλογα του Πυθαγορείου θεωρήματος και του νόμου παραλληλογράμμου συγκρατούν ένα χώρο Hilbert. Σε ένα βαθύτερο επίπεδο, η κάθετη προβολή επί ενός υπόχωρου (το ανάλογο της «ρίψης του υψομέτρου" ενός τριγώνου) παίζει σημαντικό ρόλο στη βελτιστοποίηση των προβλημάτων και σε άλλες πτυχές της θεωρίας. Ένα στοιχείο του χώρου Hilbert μπορεί να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο από τις συντεταγμένες του σε σχέση με ένα σύνολο από τους άξονες συντεταγμένων (ορθοκανονική βάση), σε αναλογία με καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο. Όταν αυτό το σύνολο των αξόνων είναι αριθμήσιμο άπειρο, αυτό σημαίνει ότι ο χώρος Hilbert μπορει επίσης χρησίμως να θεωρηθεί από την άποψη των άπειρων ακολουθιών που είναι τετράγωνο-αθροίσιμων τετραγωνικών. Οι γραμμικοί φορείς σε ένα χώρο Hilbert είναι επίσης αρκετά συγκεκριμένα αντικείμενα: σε καλές περιπτώσεις, είναι απλοί μετασχηματισμοί που τεντώνουν το χώρο από διάφορους παράγοντες σε αμοιβαίες κατακόρυφες κατευθύνσεις, με την έννοια ότι γίνονται ακριβείς από τη μελέτη του φάσματος τους.

Πίνακας περιεχομένων

άλλες γλώσσες
Afrikaans: Hilbert-ruimte
العربية: فضاء هيلبرت
azərbaycanca: Hilbert fəzası
dansk: Hilbertrum
Deutsch: Hilbertraum
English: Hilbert space
Esperanto: Hilberta spaco
magyar: Hilbert-tér
lietuvių: Hilberto erdvė
Nederlands: Hilbertruimte
norsk nynorsk: Hilbertrom
norsk: Hilbertrom
پنجابی: ہلبرٹ سپیس
português: Espaço de Hilbert
română: Spațiu Hilbert
srpskohrvatski / српскохрватски: Hilbertov prostor
Simple English: Hilbert space
slovenčina: Hilbertov priestor
slovenščina: Hilbertov prostor
српски / srpski: Хилбертов простор
svenska: Hilbertrum
Türkçe: Hilbert uzayı
oʻzbekcha/ўзбекча: Gilbert fazosi
Tiếng Việt: Không gian Hilbert
粵語: 囂拔空間