Χώρος Χίλμπερτ

Η κατάσταση μιας παλλόμενης χορδής μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα σημείο σε ένα χώρο Hilbert. Η αποσύνθεση ενός δονούμενου κορδονιού σε δονήσεις της σε διακριτά αρμονικούς ήχους δίνεται από την προβολή του σημείου επί των αξόνων συντεταγμένων στο χώρο.

Η μαθηματική έννοια του Χώρου Χίλμπερτ, που πήρε το όνομα του από τον Νταβίντ Χίλμπερτ (David Hilbert), γενικεύει την έννοια του Ευκλείδειου Χώρου. Επεκτείνει τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και του λογισμού από το δισδιάστατο Ευκλείδειο επίπεδο και τρισδιάστατο χώρο σε χώρους με κάθε πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαστάσεων. Ένας χώρος Hilbert είναι ένας αφηρημένος διανυσματικός χώρος που διαθέτει τη δομή ενός εσωτερικού γινομένου που επιτρέπει το μήκος και η γωνία που πρέπει να μετρηθεί. Επιπλέον, οι χώροι Hilbert είναι πλήρεις: υπάρχουν αρκετά όρια στον χώρο για να επιτρέψουν τις τεχνικές του λογισμού που πρέπει να χρησιμοποιηθούν.

Χώροι Χίλμπερτ προκύπτουν φυσικά και συχνά στα μαθηματικά και τη φυσική, συνήθως ως απειροδιάστατες λειτουργίες χώρων. Οι πρώτοι χώροι Χίλμπερτ μελετήθηκαν από την άποψη αυτή κατά την πρώτη δεκαετία του 20ου αιώνα από τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ , Έρχαρντ Σμιτ και Frigyes Riesz. Είναι απαραίτητα εργαλεία στις θεωρίες των μερικών διαφορικών εξισώσεων, την κβαντομηχανική, την ανάλυση Φουριέ (η οποία περιλαμβάνει εφαρμογές για την επεξεργασία σήματος και τη μεταφορά θερμότητας) και την εργοδική θεωρία, η οποία αποτελεί τη μαθηματική υποστήριξη της θερμοδυναμικής. Ο Τζον φον Νόιμαν επινόησε τον όρο χώρο Χίλμπερτ για την αφηρημένη έννοια που κρύβεται πίσω από πολλές από αυτές τις ποικίλες εφαρμογές. Η επιτυχία των μεθ;oδων του χώρου Hilbert μπαίνει σε μια πολύ γόνιμη εποχή για τη λειτουργική ανάλυση. Εκτός από τους κλασσικούς Ευκλείδειους χώρους, παραδείγματα των χώρων Hilbert περιλαμβάνονται στους χώρους των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, τους χώρους των ακολουθιών, τους χώρους Sobolev που αποτελούνται από γενικευμένες συναρτήσεις, και τους χώρους Hardy των αναλυτικών συναρτήσεων.

Η γεωμετρική διαίσθηση παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές πτυχές της θεωρίας του χώρου Hilbert. Ακριβή ανάλογα του Πυθαγορείου θεωρήματος και του νόμου παραλληλογράμμου συγκρατούν ένα χώρο Hilbert. Σε ένα βαθύτερο επίπεδο, η κάθετη προβολή επί ενός υπόχωρου (το ανάλογο της «ρίψης του υψομέτρου" ενός τριγώνου) παίζει σημαντικό ρόλο στη βελτιστοποίηση των προβλημάτων και σε άλλες πτυχές της θεωρίας. Ένα στοιχείο του χώρου Hilbert μπορεί να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο από τις συντεταγμένες του σε σχέση με ένα σύνολο από τους άξονες συντεταγμένων (ορθοκανονική βάση), σε αναλογία με καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο. Όταν αυτό το σύνολο των αξόνων είναι αριθμήσιμο άπειρο, αυτό σημαίνει ότι ο χώρος Hilbert μπορει επίσης χρησίμως να θεωρηθεί από την άποψη των άπειρων ακολουθιών που είναι τετράγωνο-αθροίσιμων τετραγωνικών. Οι γραμμικοί φορείς σε ένα χώρο Hilbert είναι επίσης αρκετά συγκεκριμένα αντικείμενα: σε καλές περιπτώσεις, είναι απλοί μετασχηματισμοί που τεντώνουν το χώρο από διάφορους παράγοντες σε αμοιβαίες κατακόρυφες κατευθύνσεις, με την έννοια ότι γίνονται ακριβείς από τη μελέτη του φάσματος τους.

Ορισμός και επεξήγηση

Η παροχή κινήτρων για παράδειγμα: Ευκλείδειος χώρος

Ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα ενός χώρου Hilbert είναι ο Ευκλείδειος χώρος που αποτελείται από τρισδιάστατα διανύσματα, συμβολίζεται με το R3, και είναι εφοδιασμένος με το γινόμενο. Το γινόμενο παίρνει δύο διανύσματα x και y, και παράγει έναν πραγματικό αριθμό x · y. Αν x και y αναπαρίστανται σε καρτεσιανές συντεταγμένες, τότε το γινόμενο ορίζεται από

Το γινόμενο ικανοποιεί τις ιδιότητες:

  1. Είναι συμμετρικό ως προς x και y: x · y = y · x.
  2. Είναι γραμμικό στο πρώτο όρισμά του: (AX1 + BX2) · y = AX1 · y + BX2 · y για κάθε βαθμωτά α, β, και οι φορείς x1, x2 και y.
  3. Είναι θετικά ορισμένο: για όλα τα διανύσματα x, x · x ≥ 0, με ισότητα αν και μόνο αν x = 0.

Μία συνάρτηση σε ζεύγη φορέων που, όπως και το εσωτερικό γινόμενο, ικανοποιεί αυτές τις τρεις ιδιότητες που είναι γνωστό ως (πραγματικό) εσωτερικό γινόμενο. Ένας διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο είναι γνωστός ως (πραγματικός) χώρος εσωτερικού γινομένου. Κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρος εσωτερικού γινομένου είναι επίσης ένας χώρος Hilbert. Το βασικό χαρακτηριστικό του γινομένου που το συνδέει με την Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ότι σχετίζεται τόσο με το μήκος (ή νόρμα) ενός φορέα, και συμβολίζεται ||x||, όσο και με τη γωνία θ μεταξύ δύο διανυσμάτων x και y μέσω του τύπου

Πολυμεταβλητός λογισμός Ευκλείδειο χώρο εξαρτάται από την ικανότητα να υπολογίζουν τα όρια, και να έχουν χρήσιμα κριτήρια για τη σύναψη ότι υπάρχουν όρια. Μια μαθηματική σειρά

που αποτελείται από φορείς σε R3 είναι απολύτως συγκλίνουσα με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των μηκών συγκλίνει ως ένα συνηθισμένο σειρά πραγματικών αριθμών:[1]

Ακριβώς όπως με μια σειρά από βαθμωτά, μια σειρά διανυσμάτων που συγκλίνει απολύτως επίσης συγκλίνει σε κάποιο όριο διάνυσμα L στην Ευκλείδειο χώρο, με την έννοια ότι

Αυτή η ιδιότητα εκφράζει την πληρότητα του Ευκλείδειου διαστήματος: ότι μια σειρά που συγκλίνει απολύτως επίσης συγκλίνει κατά τη συνήθη έννοια του όρου

Ορισμός

Ένα χώρο Hilbert H είναι μια πραγματική ή ένας πλήρης εσωτερικός χώρος του γινομένου που είναι επίσης ένας πλήρης μετρικός χώρος σε σχέση με την συνάρτηση απόστασης που επάγεται από το εσωτερικό του προϊόντος.[2] να πούμε ότι το Η είναι ένας σύνθετος εσωτερικός χώρος του γινομένου που σημαίνει ότι το H είναι ένας πολύπλοκος διανυσματικός χώρος επί του οποίου υπάρχει ένα εσωτερικό γινόμενο που συνδέει έναν μιγαδικό αριθμό σε κάθε ζεύγος στοιχείων x, y του H που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • Το εσωτερικό γινόμενο ενός ζεύγους στοιχείων είναι ίσο με το μιγαδική συζυγή του εσωτερικού γινομένου των ανταλλαγμένων στοιχείων:
  • Το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό στο πρώτο επιχείρημά του. [3] Για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς α και β,
  • Το εσωτερικό γινόμενο ενός στοιχείου με τον εαυτό της είναι θετικα οριστικό:

όταν η υπόθεση της ισότητας ισχύει ακριβώς όταν x = 0. Όπως προκύπτει από τις ιδιότητες 1 και 2 ότι ένα σύνθετο εσωτερικό γινόμενο είναι antilinear στο δεύτερο επιχείρημά της, πράγμα που σημαίνει ότι

Ένας πραγματικός εσωτερικός χώρος του γινομένου ορίζεται με τον ίδιο τρόπο, εκτός του ότι Η είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος και το εσωτερικό γινόμενο παίρνει πραγματικές τιμές. Ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο θα είναι διγραμμικό: δηλαδή, γραμμικό σε κάθε επιχείρημα.

Ο κανόνας είναι η πραγματική λειτουργία αποτιμώνται

και η απόσταση d μεταξύ δύο σημείων x, y στο H ορίζεται σε όρους του κανόνα με

Οτί αυτή η λειτουργία είναι ένα μέσο συνάρτηση απόστασης (1) ότι είναι συμμετρική στην x και y, (2) ότι η απόσταση μεταξύ χ και η ίδια είναι μηδέν, και αλλιώς η απόσταση μεταξύ Χ και Υ πρέπει να είναι θετική, και (3) η τριγωνική ανισότητα κατέχει, πράγμα που σημαίνει ότι το μήκος του ενός ποδιού ενός τριγώνου XYZ δεν μπορεί να υπερβαίνει το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο σκελών:

Η τελευταία αυτή ιδιότητα είναι τελικά συνέπεια της πιο θεμελιώδης ανισότητας Cauchy-Schwarz, η οποία υποστηρίζει

με ισότητα αν και μόνο αν x και y είναι γραμμικά εξαρτημένες. Σε σχέση με μία συνάρτηση απόστασης που ορίζεται με τον τρόπο αυτό, κάθε εσωτερικός χώρος γινομένου είναι ένας μετρικός χώρος, και μερικές φορές είναι γνωστός ως ένας χώρος προ-Hilbert.[3] Κάθε χώρος προ-Hilbert που είναι επίσης ένας πλήρης χώρος είναι ένας χώρος Hilbert. Η πληρότητα εκφράζεται χρησιμοποιώντας μια μορφή του κριτηρίου Cauchy για τις ακολουθίες σε H: ένας προ-χώρος Hilbert H είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει σε σχέση με αυτό το πρότυπο σε ένα στοιχείο στο χώρο. Πληρότητα μπορεί να χαρακτηριστεί από την ακόλουθη ισοδύναμη κατάσταση: εάν μια σειρά διανυσμάτων συγκλίνει απόλυτα με την έννοια ότι

τότε η σειρά συγκλίνει στο H, με την έννοια ότι τα μερικά αθροίσματα συγκλίνουν σε ένα στοιχείο του Η.

Ως ένα πλήρες νόρμα χώρου, χώροι Hilbert είναι εξ ορισμού και χώροι Banach. Ως εκ τούτου είναι τοπολογικοί χώροι του φορέα, στον οποίο είναι σαφώς καθορισμένες τοπολογικές έννοιες, όπως η διαφάνεια και η κλειστότητα των υποσυνόλων. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η έννοια ενός κλειστού γραμμικού υποχώρου ενός χώρου Hilbert ότι, με το εσωτερικό γινόμενο που προκαλείται από περιορισμό, είναι επίσης πλήρης (είναι ένα κλειστό σύνολο σε ένα πλήρη μετρικό χώρο) και ως εκ τούτου, ένας χώρος Hilbert από μόνο του.

Δεύτερο παράδειγμα: ακολουθίας χώρων

Η αλληλουχία χώρου 2 αποτελείται από όλες τις άπειρες αλληλουχίες z = (z1,z2,...)των μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά

να συγκλίνει. Το εσωτερικό γινόμενο για 2 ορίζεται από

με τις τελευταίες σειρές να συγκλίνουν ως συνέπεια της ανισότητας Cauchy-Schwarz.

Η πληρότητα του χώρου ισχύει υπό τον όρο ότι κάθε φορά που μια σειρά από στοιχεία από 2 συγκλίνει απολύτως (στο πρότυπο), τότε θα συγκλίνει σε ένα στοιχείο του 2. Η απόδειξη είναι βασική στην μαθηματική ανάλυση και επιτρέπει την μαθηματική σειρά στοιχείων του χώρου που πρέπει να χειριστεί με την ίδια ευκολία όπως σειρά των μιγαδικών αριθμών (ή οι φορείς σε ένα πεπερασμένο διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο).[4]

άλλες γλώσσες
Afrikaans: Hilbert-ruimte
العربية: فضاء هيلبرت
azərbaycanca: Hilbert fəzası
dansk: Hilbertrum
Deutsch: Hilbertraum
English: Hilbert space
Esperanto: Hilberta spaco
magyar: Hilbert-tér
lietuvių: Hilberto erdvė
Nederlands: Hilbertruimte
norsk nynorsk: Hilbertrom
norsk: Hilbertrom
پنجابی: ہلبرٹ سپیس
português: Espaço de Hilbert
română: Spațiu Hilbert
srpskohrvatski / српскохрватски: Hilbertov prostor
Simple English: Hilbert space
slovenčina: Hilbertov priestor
slovenščina: Hilbertov prostor
српски / srpski: Хилбертов простор
svenska: Hilbertrum
Türkçe: Hilbert uzayı
oʻzbekcha/ўзбекча: Gilbert fazosi
Tiếng Việt: Không gian Hilbert
粵語: 囂拔空間