Κύκλος

Γεωμετρία
Ταξινόμηση
Dewey516
MSC201014Cxx
π  σ  
Σχήμα 1: Κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ

Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ. Συμβολίζουμε C(Κ,ρ). Με εναλλακτική διατύπωση, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Σχήμα 2: Το εσωτερικό και το εξωτερικό του κύκλου

Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C(Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο Ν του επιπέδου για το οποίο ΝΚ > ρ λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα 2 το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.

Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο), "Κύκλος εστί σχήμα επίπεδον υπό μιας γραμμής περιεχόμενον [ή καλείται περιφέρεια], πρός ήν αφ'ενός σημείου τών εντός τού σχήματος κειμένων πάσαι αι προσπίπτουσαι ευθείαι [πρός τήν τού κύκλου περιφέρειαν] ίσαι αλλήλαις εισίν. Κέντρον δε τού κύκλου το σημείον καλείται. Διάμετρος δε του κύκλου εστίν ευθεία τις διά τού κέντρου ηγμένη και περατουμένη εφ' εκάτερα τά μέρη υπό τής τού κύκλου περιφερείας, ήτις καί δίχα τέμνει τόν κύκλον".

Στον παραπάνω ορισμός ο Ευκλείδης ταυτίζει τον κύκλο με τον δίσκο. Για αυτό το λόγο εμφανίζεται ο όρος περιφέρεια. Με άλλα λόγια οι λέξεις περιφέρεια και κύκλος περίγραφαν στην αρχαιότητα αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε κύκλος και δίσκος αντίστοιχα.

Τόξα και επίκεντρες γωνίες

Σχήμα 3: Επίκεντρη γωνία, το αντίστοιχο τόξο της και ο κυκλικός της τομέας

Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. Κάθε γωνία μπορούμε να την καταστήσουμε επίκεντρη θεωρώντας έναν κύκλο (αυθαίρετης ακτίνας) γύρω από την κορυφή της.

Έστω ένας κύκλος και μια επίκεντρη γωνία που τέμνει τον κύκλο στα Α και Β. Τόξο ΑΒ είναι το σύνολο των σημείων του κύκλου που βρίσκονται εντός της γωνίας. Κάθε ζεύγος σημείων πάνω σε κύκλο ορίζει δύο επίκεντρες γωνίες, άρα και δύο τόξα. Αν η χορδή ΑΒ είναι διάμετρος τότε τα τόξα αυτά λέγονται ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση το ένα τόξο λέγεται μείζον και το άλλο έλασσον· μείζον είναι το τόξο της οποίας η επίκεντρη γωνία δεν είναι κυρτή.

Στο σχήμα 3, αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΑΚΒ θα λέμε το έλασσον τόξο ΑΒ. Λέμε επίσης ότι η γωνία ΑΚΒ βαίνει στο τόξο ΑΒ, και ότι το τόξο ΑΒ φαίνεται υπό γωνία ΑΚΒ.

Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο λέγεται η γωνία που έχει τη κορυφή της σε κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.

Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο του σχήματος 3.

Θεώρημα αντιστοιχίας τόξου-επίκεντρης

Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Απόδειξη ευθέος: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΚΒ, ΓΚΔ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ΑΒ και ΓΔ. Μετατοπίζουμε τη γωνία ΓΚΔ έτσι ώστε η ημιευθεία ΚΔ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΒ. Τότε η ημιευθεία ΚΓ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ΚΑ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία Γ και Δ θα ταυτιστούν με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα επειδή ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ΚΔ = ρ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ΓΔ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ΑΒ: αν υπήρχε σημείο του τόξου ΓΔ που δεν θα ανήκε στο τόξο ΑΒ, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

Σχήμα 4: Ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα και αντίστροφα

Απόδειξη αντίστροφου: Ας είναι C(Κ,ρ) ένας κύκλος και ΑΒ, ΓΔ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ΑΚΒ και ΓΚΔ. Μετατοπίζουμε το τόξο ΓΔ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ΑΒ. Τότε η πλευρά γωνίας ΚΓ ταυτίζεται με την ΚΑ και η ΚΔ ταυτίζεται με την ΚB και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.

Σύγκριση τόξων και πράξεις

  • Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
  • Μέσο ενός τόξου ΑΒ είναι ένα σημείο Μ στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα ΑΜ και ΜΒ να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

Απόδειξη: Αν Μ είναι το μέσο ενός τόξου ΑΒ, τότε θα είναι ΑΜ = ΜΒ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ΑΚΜ = ΜΚΒ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ΚΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΚΒ. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το Μ θα είναι και αυτό μοναδικό.

  • Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
  • Λέγοντας μέτρηση ενός τόξου ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα μοναδιαίο τόξο ΚΛ του ίδιου κύκλου. Αν ισχύει ΑΒ = μ/ν ΚΛ, τότε λέμε ότι το μήκος του τόξου ΑΒ ως προς το τόξο ΚΛ είναι μ/ν. Συνηθισμένη μονάδα μέτρησης εδώ είναι το τόξο που ισούται με το ένα τριακοσιοστό εξηκοστό του κύκλου. Το μήκος του μοναδιαίου αυτού τόξου λέμε ότι ισούται με μία μοίρα και συμβολίζουμε 1°.
  • Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.
άλλες γλώσσες
Afrikaans: Sirkel
Alemannisch: Kreis (Geometrie)
አማርኛ: ክብ
aragonés: Circumferencia
العربية: دائرة
مصرى: دايره
অসমীয়া: বৃত্ত
asturianu: Circunferencia
Aymar aru: Muyu
azərbaycanca: Çevrə
تۆرکجه: دایره
žemaitėška: Apskrėtėms
беларуская: Акружнасць
беларуская (тарашкевіца)‎: Акружына
български: Окръжност
বাংলা: বৃত্ত
brezhoneg: Kelc'h
bosanski: Kružnica
čeština: Kružnice
Чӑвашла: Çавракăш
Cymraeg: Cylch
dansk: Cirkel
Deutsch: Kreis
dolnoserbski: Cera krejza
emiliàn e rumagnòl: Serć (giumetrìa)
English: Circle
Esperanto: Cirklo
español: Circunferencia
eesti: Ringjoon
euskara: Zirkulu
فارسی: دایره
suomi: Ympyrä
føroyskt: Sirkul
français: Cercle
Nordfriisk: Kreis (geometrii)
Gaeilge: Ciorcal
贛語: 圓形
Gàidhlig: Cearcall
galego: Círculo
ગુજરાતી: વર્તુળ
Gaelg: Kiarkyl
עברית: מעגל
हिन्दी: वृत्त
Fiji Hindi: Circle
hrvatski: Kružnica
hornjoserbsce: Kružnica
Kreyòl ayisyen: Sèk (non)
Հայերեն: Շրջանագիծ
interlingua: Circulo
Bahasa Indonesia: Lingkaran
Ido: Cirklo
italiano: Circonferenza
日本語: 円 (数学)
Patois: Soerkl
Basa Jawa: Bunderan
ქართული: წრეწირი
қазақша: Шеңбер
ភាសាខ្មែរ: រង្វង់
한국어: 원 (기하학)
kurdî: Gilover
Latina: Circulus
Lëtzebuergesch: Krees (Geometrie)
Limburgs: Cirkel
lumbaart: Sércc
لۊری شومالی: دایره
lietuvių: Apskritimas
latviešu: Riņķa līnija
олык марий: Оҥго
македонски: Кружница
മലയാളം: വൃത്തം
монгол: Тойрог
मराठी: वर्तुळ
Bahasa Melayu: Bulatan
မြန်မာဘာသာ: စက်ဝိုင်း
Plattdüütsch: Krink
नेपाली: वृत
नेपाल भाषा: चाकः
Nederlands: Cirkel
norsk nynorsk: Sirkel
norsk: Sirkel
occitan: Cercle
ଓଡ଼ିଆ: ବୃତ୍ତ
ਪੰਜਾਬੀ: ਚੱਕਰ
Norfuk / Pitkern: Sirkil
polski: Okrąg
پنجابی: چکر
پښتو: گردکه
português: Circunferência
Runa Simi: P'allta muyu
română: Cerc
armãneashti: Țercľiu
русский: Окружность
русиньскый: Круг
Scots: Raing
srpskohrvatski / српскохрватски: Kružnica
Simple English: Circle
slovenčina: Kružnica
slovenščina: Krožnica
chiShona: Denderedzwa
Soomaaliga: Goobo
shqip: Rrethi
српски / srpski: Кружница
svenska: Cirkel
Kiswahili: Duara
தமிழ்: வட்டம்
Tagalog: Bilog
Türkçe: Çember
татарча/tatarça: Әйләнә
українська: Коло
اردو: دائرہ
oʻzbekcha/ўзбекча: Aylana
vèneto: Sercio
Tiếng Việt: Đường tròn
Winaray: Lidong
吴语:
isiXhosa: Isazinge
ייִדיש: קרייז
Yorùbá: Òbìrípo
Vahcuengh: Luenz
中文:
文言:
Bân-lâm-gú: Îⁿ-hêng
粵語: 圓形